» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Osculating circle (Cerchio osculatore)

Quale è la migliore approssimazione a una curva in un intorno di un punto assegnato? La risposta più ovvia è la retta tangente, per un intorno sufficientemente piccolo. Ma qui vogliamo approssimarla in "modo curvilineo" (rozzamente parlando). Enunciamo e dimostriamo un teorema secondo cui la migliore approssimazione è un arco di circonferenza tangente alla curva nel punto dato, e avente raggio pari al raggio di curvatura (calcolato in quel punto). È il famoso cerchio osculatore, che generalizza la nozione di "osculazione", dal francese "baciarsi". Infatti, abbiamo studiato i punti di osculazione in una lezione precedente, anche se lì avevano una connotazione per così dire, negativa 😀 giacché ci si riferiva ai punti singolari di una curva.
PS. Sia chiaro, stiamo parlando di curve piane...

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Curvature and radius of curvature of a plane curve (Curvatura e raggio di curvatura di una curva piana)

Abbiamo definito il versore tangente a una curva piana (in un punto assegnato), attraverso la rappresentazione naturale della curva medesima. "Forziamo" l'espressione analitica di tale funzione vettoriale, derivandola rispetto all'ascissa curvilinea. La domanda è: "Cosa rappresenta questa nuova grandezza?". Primo, se è identicamente nulla scopriamo che l'arco di curva assegnato è un segmento di retta. Secondo, se tale grandezza non è nulla ci sta fornendo un'informazione vitale sulla sua "curvatura", nel senso che misura la deviazione dall'andamento rettilineo. È allora fisiologico battezzare questa nuova grandezza come "vettore normale" alla curva, e il corrispondente vettore unitario "vettore unitario normale principale".

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