Archive for the ‘Meccanica analitica’ Category

Vibrazioni trasversali di una barra metallica

mercoledì, Novembre 3rd, 2021

vibrazioni trasversali, barra metallica
Fig. 1



Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.


Esercizio

Si consideri una barra metallica verticale di densità lineare ?_{l} e lunghezza l incastrata ad una estremità (fig. 1). Si chiede:

a) di ricavare l'equazione differenziale relativa alle vibrazioni trasversali;
b) risolvere questa equazione differenziale usando il metodo delle serie di potenze e determinare la frequenza minima delle vibrazioni.


Soluzione

Quesito a

La tensione T, cui è sottoposta la barra, in una sezione x dall'origine O è data dal peso del tratto (l-x), e precisamente:


La forza d'inerzia, diretta come y, in un tratto Δx vale

che è l'equazione differenziale per piccole oscillazioni trasversali.
Quesito b

Per risolvere la predetta equazione differenziale, applichiamo il metodo di separazione delle variabili, cioè cerchiamo soluzioni:


per cui

Poiché il membro di sinistra dipende solo da t e quello di destra dipende solo da x, ciascuno sarà uguale ad una costante, che chiameremo -λ, essendo -λ > 0. Così otteniamo due equazioni differenziali ordinarie:


e le condizioni al contorno sono

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Vibrazioni e deformazioni (parte 2)

lunedì, Novembre 1st, 2021

vibrazioni,deformazioni,corda,equazione di eulero
Fig. 1



Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.


Esercizio

Si consideri un piccolo tratto Δl di corda metallica - densità ρ e sezione A - che lungo la direzione x subisce piccole oscillazioni e chiamiamo con F1 e F2 le tensioni applicate alle sue estremità. Determinare velocità di propagazione e frequenza fondamentale di vibrazione.


Soluzione

Seguendo la fig. 1 per piccole oscillazioni possiamo scrivere θ~0 e Δθ è del secondo ordine. Inoltre non essendoci moto lungo l'asse x possiamo pensare che la componente x della forza netta agente su Δl sia nulla. Pertanto:


Per piccoli θ si ha

allora l'equazione sopra diventa

Ma quest'ultima è la forza d'inerzia (massa×accelerazione) applicata al tratto Δl. Quindi:

che è l'equazione di Eulero già incontrata nel precedente esercizio. Poniamo

ed è facile persuadersi che si tratta del quadrato della velocità di propagazione della vibrazione/deformazione.
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