Archive for the ‘Meccanica analitica’ Category

Seconda forma dell'equazione delle orbite

mercoledì, Aprile 14th, 2021

seconda forma dell'equazione delle orbite


L'integrazione della prima forma dell'equazione delle orbite, restituisce la funzione r(φ?) ovvero l'equazione dell'orbita in coordinate polari. In molti problemi è conveniente eseguire un cambio di variabile (in modo da evitare la singolarità in r=0). Rammentiamo innanzitutto che l'anomalia φ?(t) è una funzione monotona; inoltre, per la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha


D'altra parte

Eseguendo l'ulteriore cambio di variabile r=1/u

Deriviamo nuovamente rispetto al tempo t

ed è questo il termine da inserire a primo membro dell'equazione differenziale del moto nel dominio del tempo, vale a dire:


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Esercizio svolto sui campi centrali

mercoledì, Aprile 14th, 2021

campo centrale, esercizio svolto, meccanica razionale, spiegel


Risolviamo quest'esercizio di meccanica razionale/meccanica analitica.
Una particella di massa m si muove in un campo di forza dato da


Se essa parte sul semiasse positivo x a distanza D dall'origine e si muove con velocità v0 in una direzione che forma un angolo α con il predetto semiasse, si dimostri che l'equazione differenziale per la coordinata radiale r, è

Soluzione
L'energia potenziale del campo assegnato è


per cui il potenziale efficace è

e quindi l'equazione differenziale del moto

Le condizioni iniziali date dall'esercizio ci permettono di esplicitare la componente z del momento angolare. Infatti, orientando la solita terna inerziale con il piano xy coincidente con il piano orbitale, si ha innanzitutto:

Il momento angolare è


da cui il risultato.
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