Archive for the ‘Geometria differenziale’ Category

Esercizio 5. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

sabato, Gennaio 2nd, 2021

curva,retta tangente,forma implicita
Fig. 1


Esercizio

Assegnata la curva


1) Scrivere l'equazione della tangente in P(2,0)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.


Soluzione
Poniamo


L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

Si noti che la funzione F(x,y) non è definita sull'asse y, mentre le derivate parziali rispetto alle variabili x e y, sono ivi definite con esclusione dell'origine (0,0). Ne segue che dobbiamo escludere dalle eventuali soluzioni i punti dell'asse y. Risolvendo con Mathematica otteniamo i seguenti punti singolari:


Per classificarli dobbiamo valutare


dove


A tale scopo determiniamo le derivate parziali seconde:


Segue

per cui i predetti punti sono nodi (punti doppi). Sfortunatamente non è possibile tracciare la curva via software. Ne possiamo avere un'idea da come il grafico z=F(x,y) interseca il piano z=0 (fig. 1).
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Esercizio 4. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

sabato, Gennaio 2nd, 2021

curva,retta tangente,forma implicita
Fig. 1


Esercizio

Assegnata la curva


1) Scrivere l'equazione della tangente in P(2,0)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.


Soluzione
Poniamo


L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

che è privo di soluzioni, per cui la curva è regolare. In fig. 1 è tracciato l'andamento della curva. Si noti che abbiamo disegnato con Mathematica, le curve di livello della funzione F(x,y), e la curva assegnata è la curva di livello 0.

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