Lezioni di Matematica: teoria degli insiemi. Strutture algebriche e operatori lineari

Insiemi e strutture algebriche

Algebra

  • Lezione 1 - Definizione di insieme. Il paradosso di Russel
  • Lezione 2 - Uguaglianza logica. Uguaglianza geometrica. Insiemi in estensione
  • Lezione 3 - Diagramma di Eulero-Venn. Inclusione. Sottoinsiemi. L'insieme vuoto
  • Lezione 4 - Proprietà della relazione di inclusione. Insieme delle parti
  • Lezione 5 - Applicazioni tra insiemi
  • Lezione 6 - Applicazioni suriettive, iniettive, bi-iettive
  • Lezione 7 - Composizione di applicazioni. Applicazione prodotto. Proprietà associativa del prodotto di applicazioni
  • Lezione 8 - Applicazione inversa
  • Lezione 9 - Gruppo delle applicazioni bi-iettive. Gruppo delle sostituzioni
  • Lezione 10 - Corrispondenze tra insiemi
  • Lezione 11 - Esempio di corrispondenze tra insiemi
  • Lezione 12 - Operazioni sugli insiemi
  • Lezione 13 - Unione ed intersezione di una famiglia di insiemi
  • Lezione 14 - Differenza di due insiemi. Insieme complementare
  • Lezione 15 - Coppie ordinate, n-ple ordinate. Prodotto cartesiano
  • Lezione 16 - Grafico di una corrispondenza
  • Lezione 17 - Grafico di una applicazione
  • Lezione 18 - Relazioni in un insieme. Proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva
  • Lezione 19 - La relazione di parallelismo tra rette di un piano, quale relazione in un insieme
  • Lezione 20 - La relazione di perpendicolarità tra rette di un piano, quale relazione in un insieme
  • Lezione 21 - Esempio di relazione tra segmenti di un piano dello spazio ordinario
  • Lezione 22 - Relazioni in un insieme. Proprietà e teoremi. La relazione identica
  • Lezione 23 - Grafico di una relazione
  • Lezione 24 - Le proprietà di una relazione si traducono in proprietà del grafico
    • Lezione 24b - Invarianza della simmetria di una relazione rispetto all'unione e all'intersezione
  • Lezione 25 - Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza

Esercizi svolti di Algebra

  • Esercizio [...] - Sotto quali condizioni un'applicazione costante è iniettiva?
  • Esercizio [...] - Dato un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi, determinare la corrispondenza tra gli insiemi
  • Esercizio [...] - Grafico di una relazione
  • Esercizio [...] - L'unico insieme non vuoto in cui ogni relazione è simmetrica, è il singoletto

    • li>Esercizio [...] - Non invarianza dell'antisimmetria di una relazione rispetto all'unione e all'intersezione

(in allestimento)

Applicazioni lineari e multilineari

  • Lezione 1 - Funzionali lineari e spazio duale. Matrice rappresentativa
  • Lezione 2 - Base duale di uno spazio vettoriale
  • Lezione 3 - Vettori covarianti e vettori controvarianti
  • Lezione 4 - Tensore covariante di rango 2
  • Lezione 5 - Prodotto tensoriale di spazi vettoriali
  • Lezione 6 - Dimensione dello spazio vettoriale dato dal prodotto tensoriale di spazi vettoriali
  • Lezione [...] - Supplementare ortogonale di un sottospazio vettoriale
  • Lezione [...] - Kernel o nucleo di un'applicazione lineare
  • Lezione [...] - Kernel di un'applicazione bilineare
  • Lezione [...] - Esempio di endomorfismo nello spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 sui reali./b>
  • Lezione [...] - Nullità di un funzionale lineare

Esercizi su Insiemi e Strutture algebriche

Teoria degli insiemi

Matrici e determinanti

Spazi vettoriali

Applicazioni lineari. Omomorfismi ed endomorfismi

  • Esercizio ... - Applicazioni lineari tra spazi vettoriali di matrici
  • Esercizio ... - Ricerca di una base dell'immagine di un omomorfismo e di una base del kernel
  • Esercizio ... - Endomorfismo in uno spazio vettoriale di matrici
  • Esercizio ... - Omomorfismi ed Endomorfismi non singolari
  • Esercizio ... - Rotazioni nello spazio euclideo. Trasformazioni ortogonali
  • Esercizio ... - (Algebra lineare) Immagine e Kernel di un omomorfismo da R^3 a R^2
  • Esercizio ... - (Algebra lineare) Esercizio sui funzionali lineari (spazio duale)