Archive for the ‘meccanica razionale’ Category

Particella vincolata a muoversi sulla superficie interna di un cono

lunedì, Settembre 13th, 2021

Particella vincolata a muoversi sulla superficie interna di un cono
Fig. 1


Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Una particella di massa m è costretta a muoversi, senza attrito, sulla superficie interna di un cono (fig. 1).
a) Trovare le condizioni per cui la particella descrive un'orbita circolare.
b) Verificare la stabilità dell'orbita.


Soluzione

In coordinate sferiche (r,θ,φ) le equazioni del moto sono:


Poiché la particella è costretta a muoversi sulla superficie interna del cono, si ha:

Pertanto la prima delle equazioni del moto si scriverà:

Per il moto in un'orbita circolare attorno al suo asse verticale si ha


Con l=l0 si ha

Essendo

possiamo chiamare

La particella ha una velocità tangenziale v0 all'orbita

Dunque

che è la condizione iniziale che deve essere soddisfatta da v0 e da l0.
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Treno azionato dalla gravità (es. di Meccanica razionale)

venerdì, Settembre 10th, 2021

treno azionato dalla gravità,meccanica razionale
Fig. 1


Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Un tunnel collega in linea retta Parigi (A) con Londra (B) per una lunghezza L=340km . Un treno che si sposti da A a B è azionato soltanto dalla forza di gravità. Trascurando l'attrito si vuole conoscere la velocità massima cui può raggiungere il treno e il tempo richiesto per percorre il tragitto da A a B.


Soluzione

La Terra è immaginata come una sfera la cui superficie costituisce un luogo di riferimento equipotenziale gravitazionale. Il raggio terrestre è R=6366 km . Siano m e M rispettivamente la massa del treno e la massa della Terra. L'energia potenziale gravitazionale al punto x vale


Supposto che il treno parta a velocità nulla, il teorema di conservazione dell'energia meccanica è

energia potenziale al punto A= energia cinetica in x + energia potenziale in x


da cui

dove

è l'accelerazione di gravità in superficie. Dalla fig. 1 ricaviamo

Segue

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