Ettore Majorana e i cerchi di Villarceau

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Ettore Majorana e i cerchi di Villarceau

giovedì, Novembre 25th, 2021

Di seguito un aneddoto riportato dal fisico Emilio Segrè (Autobiografia di un fisicow)

Mentre stavo per entrare in un esame, Majorana mi espose una dimostrazione sintetica dell'esistenza dei cerchi di Villarceau sul toro. A dire il vero non la capii pienamente, ma la imparai lì per lì a memoria. Chiamato all'esame, il professor Pittarelli mi domandò, come spesso faceva, se per caso avevo preparato un argomento speciale. "Sissignore", risposi, "i cerchi di Villarceau" e gli recitari prima di scordarmelo quanto avevo imparato pochi minuti prima. Il professore rimase impressionato e si congratulò per una dimostrazione così elegante e per lui nuova.

La dimostrazione proposta da Majorana risulta introvabile, per cui noi di Matematica open source abbiamo cercato riferimenti in rete per poi rienterpretarla.

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Esercizio 5. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

sabato, Gennaio 2nd, 2021

curva,retta tangente,forma implicita — **Fig. 1**

Esercizio

Assegnata la curva

1) Scrivere l'equazione della tangente in P(2,0)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.

Soluzione
Poniamo

L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

Si noti che la funzione F(x,y) non è definita sull'asse y, mentre le derivate parziali rispetto alle variabili x e y, sono ivi definite con esclusione dell'origine (0,0). Ne segue che dobbiamo escludere dalle eventuali soluzioni i punti dell'asse y. Risolvendo con Mathematica otteniamo i seguenti punti singolari:

Per classificarli dobbiamo valutare

dove

A tale scopo determiniamo le derivate parziali seconde:

Segue

per cui i predetti punti sono nodi (punti doppi). Sfortunatamente non è possibile tracciare la curva via software. Ne possiamo avere un'idea da come il grafico z=F(x,y) interseca il piano z=0 (fig. 1).
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