Geometria differenziale e Meccanica analitica

Geometria differenziale

Teoria (con esempi ed esercizi svolti)

Novità! Nuove lezioni. Ma anche le "vecchie" (vedi più sotto) sono molto utili!

  • Lezione 1 - Rappresentazione implicita di curve piane
  • Lezione 2 - Classificazione dei punti singolari delle curve piane
  • Lezione 3 - Esercizio sulla classificazione dei punti singolari
  • Lezione 4 - Retta tangente e retta normale a una curva data in forma implicita
  • Lezione 5 - Rappresentazione parametrica di una curva piana
  • Lezione 6 - Length of a curve (Lunghezza di un arco di curva)
  • Lezione 7 - Natural parametrization of curves (Parametrizzazione naturale)
  • Lezione 8 - Angular points (Punti angolosi)
  • Lezione 9 - Curvatura e raggio di curvatura
  • Lezione 10 - Cerchio osculatore
  • Lezione 11 - Tangential acceleration and normal acceleration (accelerazione tangenziale e accelerazione normale)
  • Lezione 12 - Frenet's formulas (flat curves)
  • Lezione 13 - Teoria delle curve. Esistenza ed unicità (curve piane) (flat curves)
  • Lezione 14 - Curve in R^3. Curve regolari. Terna intrinseca. Piano osculatore
  • Lezione 13 - Un lemma sul gruppo ortogonale O(n)
  • Lezione 15 - Teorema di Frenet (Formule di Frenet per curve in R^3)
  • Lezione 16 - Interpretazione geometrica delle formule di Frenet)
    • Lezione 16a - Un teorema notevole sulla curvatura di una curva regolare
    • Lezione 16b - Condizione necessaria e sufficiente affinché una curva sia una retta
    • Lezione 16c - Curva regolare quale classe di equivalenza
    • Lezione 16d - Esistono infinite rappresentazioni naturali di una medesima curva regolare
    • Lezione 16e - Una curva regolare può avere una rappresentazione parametrica non regolare?
    • Lezione 16f - Derivate vettoriali notevoli (Teoria delle curve)
    • Lezione 16g - Curvatura e angolo di contingenza
    • Lezione 16h - Evoluta di una curva piana. Evolvente
    • Lezione 16i - Inviluppo di una famiglia di curve piane
    • Lezione 16i - How do you find the envelope of a family of curves?
    • Lezione 16l - Esercizio sulla ricerca dell'inviluppo di una famiglia di curve piane
    • Lezione 16m - The Asteroid is the envelope of a family of lines...
    • Lezione 16n - Inviluppo di una famiglia di rette
    • Lezione 16o - Determinare l'inviluppo delle rette che formano con gli assi coordinati un triangolo di area assegnata
    • Lezione 16p - Determinare l'inviluppo delle ellissi coassiali con centro nell'origine, aventi un'area assegnata
    • Lezione 16q - Non tutte le famiglie hanno un inviluppo
    • Lezione 16q - Famiglia di parabole inviluppata dagli assi coordinati
    • Esempio - Famiglia di parabole di Neil (curva discriminante)
    • Esempio - L'inviluppo quale luogo dei punti di flesso
    • Esercizio - Inviluppo di una famiglia di strofoidi
    • Esercizio - Inviluppando un segmento che scivola sugli assi coordinati
    • Esercizio - Questa famiglia non ha inviluppo
    • Esercizio - Cercasi disperatamente curva inviluppo
    • Esercizi sull'evoluta di una curva piana

    • Esercizio - Evoluta dell'ellisse
    • Esercizio - La normale a una curva è la tangente alla sua evoluta
    • Esercizio - Evoluta dell'iperbole
    • Esercizio - Evoluta della parabola
    • Esercizio (Teorema) - L'evoluta di un asteroide è un asteroide di ampiezza doppia, ruotato di pi/4
  • Lezione 17 - Piano osculatore, piano normale, piano rettificante

Esercizi sulle curve piane in rappresentazione implicita

  • Esercizio [1] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n. 1)
  • Esercizio [2] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n. 2)
  • Esercizio [3] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n. 3)
  • Esercizio [4] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n.4)
  • Esercizio [5] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n.5)

Altri esercizi

  • Esercizio [1] - Cerchio osculatore
  • Esercizio [1] - Curvatura della cicloide
  • Esercizio [2] - Curvatura e torsione dell'elica circolare cilindrica
  • Esercizio [3] - Alcuni dubbi su un esercizio del libro "Geometria differenziale" della collana Schuam.
  • Esercizio [4] - Cissoide di Diocle
  • Esercizio [5] - Punto singolare della cissoide di Diocle
  • Esercizio [6] - Esempio di sostituzione di parametro ammissibile
  • Esercizio [7] - Riparametrizzazione di una curva regolare
  • Esercizio [8] - Intersezione di un cilindro con piano (Intersection of a cylinder with a plane)
  • Esercizio [9] - Calcolo della lunghezza di un arco di curva
  • Esercizio [10] - Riparametrizzando una curva (Natural representation of a curve)
  • Esercizio [11] - Verificare che una data rappresentazione parametrica è naturale
  • Esercizio [12] - Intersezione di due cilindri parabolici (Intersection of two parabolic cylinders)
  • Esercizio [13] - Sostituzione di parametro ammissibile (esercizio svolto)
  • Esercizio [14] - Calcolo della lunghezza di un arco di curva regolare
  • Esercizio [15] - Attenzione quando si calcola il versore normale principale in funzione del parametro t anziché dell'ascissa curvilinea s.
  • Esercizio [16] - Curva di classe C^oo, ma non analitica
  • Esercizio [17] - Curva non analitica con versore normale non definito
  • Esercizio [18] - Piano osculatore di un'elica cilindrica, in un punto assegnato
  • Esercizio [19] - Piano normale a una curva
  • Esercizio [20] - Una notevole proprietà dell'elica cilindrica
  • Esercizio [21] - Vettori tangenti a una curva, formanti un angolo costante con un vettore assegnato

Moto in un campo centrale

  • Lezione 1 - Equivalenza di un moto in un campo centrale con un moto unidimensionale. Il potenziale centrifugo
  • Lezione 1a - Perché la Luna non cade sulla Terra?
  • Lezione 2 - Il significato fisico del potenziale centrifugo
  • Lezione 3 - Parametrizzazione dell'orbita. Prima forma dell'equazione delle orbite. Orbite circolari
  • Lezione 4 - Punti di svolta di un'orbita. Pericentro e Apocentro
  • Lezione 5 - Condizione di chiusura delle orbite. Commensurabilità con 2 pi greco
  • Lezione 6 - Barriera di potenziale. «Caduta» verso il centro
  • Lezione 7 - Seconda forma dell'equazione delle orbite

Esercizi sul moto in un campo centrale


Vecchie lezioni

Geometria differenziale e Meccanica analitica


Cinematica del punto materiale. Teoria delle curve. Topologia

  • Lezione 1 - Quiete e moto. Il concetto di tempo
  • Lezione 2 - Traiettoria di un punto materiale. Equazioni finite del moto.
  • Lezione 3 - Funzione vettoriale di una variabile reale
  • Lezione 4 - Definizione assiomatica di curva
  • Lezione 5 - Rappresentazione parametrica regolare
  • Lezione 6 - Retta tangente a una curva di rappresentazione parametrica regolare
  • Lezione 6 - Ascissa curvilinea. Rappresentazione naturale
  • Lezione 7 - Ambiguità nella definizione di curva regolare
  • Lezione 7 - Vettore tangente a una curva regolare. Il vettore velocità
  • Lezione 8 - Riparametrizzazione. Sostituzione di parametro ammissibile. Curva regolare
  • Lezione 9 - Interpretazione cinematica di una curva regolare
  • Lezione 10 - Curve piane in forma implicita
  • Lezione 11 - Retta tangente a una curva in forma implicita
  • Lezione 12 - Ascissa curvilinea. Rappresentazione naturale di una curva regolare

  • Argomenti avanzati

  • Lezione 12 - Introduzione al concetto di varietà differenziabile
  • Lezione 13 - Premesse topologiche
  • Lezione 14 - Omeomorfismi, spazi di Hausdorff. Varietà topologica
    • Lezione 14a - Topologia discreta. Un esempio di spazio di Hausdorff
    • Lezione 14b - Applicazioni continue
    • Lezione 14c - Verso una numerizzazione dello spazio
    • Lezione 14d - Varietà topologica connessa
    • Lezione 14e - L'insieme di Cantor
      • Lezione 14d1 - Introduzione
      • Lezione 14d2 - L'insieme di Cantor è un insieme di misura nulla
      • Lezione 14d3 - L'insieme di Cantor e la rappresentazione in base 3
      • Lezione 14d4 - Caratterizzazione dell'insieme di Cantor attraverso un importante teorema
      • Lezione 14d5 - Riepilogo parziale sull'insieme di Cantor
      • Lezione 14d6 - L'insieme di Cantor è un insieme perfetto
      • Lezione 14d7 - L'insieme di Cantor quale Macchina Ricorsiva Topologica


Formalismo lagrangiano ed hamiltoniano

Per un compendio esaustivo sulla dinamica lagrangiana ed hamiltoniana, si consiglia di consultare questo nostro articolo
  • Lezione 1 - Sistemi hamiltoniani e flussi hamiltoniani. Teorema di Liouville