Geometria differenziale e Meccanica analitica

Geometria differenziale

Teoria (con esempi ed esercizi svolti)

Novità! Nuove lezioni. Ma anche le "vecchie" (vedi più sotto) sono molto utili!

Lezione 1 - Rappresentazione implicita di curve piane
Lezione 2 - Classificazione dei punti singolari delle curve piane
Lezione 3 - Esercizio sulla classificazione dei punti singolari
Lezione 4 - Retta tangente e retta normale a una curva data in forma implicita
Lezione 5 - Rappresentazione parametrica di una curva piana
Lezione 6 - Length of a curve (Lunghezza di un arco di curva)
Lezione 7 - Natural parametrization of curves (Parametrizzazione naturale)
Lezione 8 - Angular points (Punti angolosi)
Lezione 9 - Curvatura e raggio di curvatura
Lezione 10 - Cerchio osculatore
Lezione 11 - Tangential acceleration and normal acceleration (accelerazione tangenziale e accelerazione normale)
Lezione 12 - Frenet's formulas (flat curves)
Lezione 13 - Teoria delle curve. Esistenza ed unicità (curve piane) (flat curves)
Lezione 14 - Curve in R^3. Curve regolari. Terna intrinseca. Piano osculatore
Lezione 13 - Un lemma sul gruppo ortogonale O(n)
Lezione 15 - Teorema di Frenet (Formule di Frenet per curve in R^3)
Lezione 16 - Interpretazione geometrica delle formule di Frenet)
- Lezione 16a - Un teorema notevole sulla curvatura di una curva regolare
  - Lezione 16ab - Corollario al teorema precedente
- Lezione 16b - Condizione necessaria e sufficiente affinché una curva sia una retta
- Lezione 16c - Curva regolare quale classe di equivalenza
- Lezione 16d - Esistono infinite rappresentazioni naturali di una medesima curva regolare
- Lezione 16e - Una curva regolare può avere una rappresentazione parametrica non regolare?
- Lezione 16f - Derivate vettoriali notevoli (Teoria delle curve)
- Lezione 16g - Curvatura e angolo di contingenza
- Lezione 16h - Evoluta di una curva piana. Evolvente
- Lezione 16i - Inviluppo di una famiglia di curve piane
- Lezione 16i - How do you find the envelope of a family of curves?
- Lezione 16l - Esercizio sulla ricerca dell'inviluppo di una famiglia di curve piane
- Lezione 16m - The Asteroid is the envelope of a family of lines...
- Lezione 16n - Inviluppo di una famiglia di rette
- Lezione 16o - Determinare l'inviluppo delle rette che formano con gli assi coordinati un triangolo di area assegnata
- Lezione 16p - Determinare l'inviluppo delle ellissi coassiali con centro nell'origine, aventi un'area assegnata
- Lezione 16q - Non tutte le famiglie hanno un inviluppo
- Lezione 16q - Famiglia di parabole inviluppata dagli assi coordinati
- Esempio - Famiglia di parabole di Neil (curva discriminante)
- Esempio - L'inviluppo quale luogo dei punti di flesso
- Esercizio - Inviluppo di una famiglia di strofoidi
- Esercizio - Inviluppando un segmento che scivola sugli assi coordinati
- Esercizio - Questa famiglia non ha inviluppo
- Esercizio - Cercasi disperatamente curva inviluppo
- Esercizio - Evoluta dell'ellisse
- Esercizio - La normale a una curva è la tangente alla sua evoluta
- Esercizio - Evoluta dell'iperbole
- Esercizio - Evoluta della parabola
- Esercizio (Teorema) - L'evoluta di un asteroide è un asteroide di ampiezza doppia, ruotato di pi/4
Lezione 17 - Superfici. Rappresentazione parametrica regolare
Esercitazione - Rappresentazione parametrica del cilindro
Lezione 18 - Carte locali
Lezione 19 - Piano osculatore, piano normale, piano rettificante
Lezione 20/b> - Superfici di rotazione: il toro e il nastro di Möbius

Lezione 18 - Toro degenere

Lezione 20 - Coordinate curvilinee. Paralleli e meridiani. Prima forma fondamentale. Metrica

Lezione 21 - Geodetiche di una superficie di rotazione

Lezione 22 - Impostazione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali delle geodetiche. Le geodetiche del Toro

E-BOOK

Esercizi sulle curve piane in rappresentazione implicita

Esercizio [1] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n. 1)

Esercizio [2] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n. 2)

Esercizio [3] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n. 3)

Esercizio [4] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n.4)

Esercizio [5] - Retta tangente a una curva piana data in forma implicita (n.5)

Altri esercizi

Esercizio [1] - Cerchio osculatore

Esercizio [1] - Curvatura della cicloide

Esercizio [2] - Curvatura e torsione dell'elica circolare cilindrica

Esercizio [3] - Alcuni dubbi su un esercizio del libro "Geometria differenziale" della collana Schuam.

Esercizio [4] - Cissoide di Diocle

Esercizio [5] - Punto singolare della cissoide di Diocle

Esercizio [6] - Esempio di sostituzione di parametro ammissibile

Esercizio [7] - Riparametrizzazione di una curva regolare

Esercizio [8] - Intersezione di un cilindro con piano (Intersection of a cylinder with a plane)

Esercizio [9] - Calcolo della lunghezza di un arco di curva

Esercizio [10] - Riparametrizzando una curva (Natural representation of a curve)

Esercizio [11] - Verificare che una data rappresentazione parametrica è naturale

Esercizio [12] - Intersezione di due cilindri parabolici (Intersection of two parabolic cylinders)

Esercizio [13] - Sostituzione di parametro ammissibile (esercizio svolto)

Esercizio [14] - Calcolo della lunghezza di un arco di curva regolare

Esercizio [15] - Attenzione quando si calcola il versore normale principale in funzione del parametro t anziché dell'ascissa curvilinea s.

Esercizio [16] - Curva di classe C^oo, ma non analitica

Esercizio [17] - Curva non analitica con versore normale non definito

Esercizio [18] - Piano osculatore di un'elica cilindrica, in un punto assegnato

Esercizio [19] - Piano normale a una curva

Esercizio [20] - Una notevole proprietà dell'elica cilindrica

Esercizio [21] - Vettori tangenti a una curva, formanti un angolo costante con un vettore assegnato

Moto in un campo centrale

Lezione 1 - Equivalenza di un moto in un campo centrale con un moto unidimensionale. Il potenziale centrifugo

Lezione 1a - Perché la Luna non cade sulla Terra?

Lezione 2 - Il significato fisico del potenziale centrifugo

Lezione 3 - Parametrizzazione dell'orbita. Prima forma dell'equazione delle orbite. Orbite circolari

Lezione 4 - Punti di svolta di un'orbita. Pericentro e Apocentro

Lezione 5 - Condizione di chiusura delle orbite. Commensurabilità con 2 pi greco

Lezione 6 - Barriera di potenziale. «Caduta» verso il centro

Lezione 7 - Seconda forma dell'equazione delle orbite

Esercizi sul moto in un campo centrale

Esercizio 1 - Campi centrali e orbite circolari

Esercizio 2 - Esercizio svolto sui campi centrali

Vecchie lezioni

Geometria differenziale e Meccanica analitica

Cinematica del punto materiale. Teoria delle curve. Topologia

Lezione 1 - Quiete e moto. Il concetto di tempo

Lezione 2 - Traiettoria di un punto materiale. Equazioni finite del moto.

Lezione 3 - Funzione vettoriale di una variabile reale

Lezione 4 - Definizione assiomatica di curva

Lezione 5 - Rappresentazione parametrica regolare

Lezione 6 - Retta tangente a una curva di rappresentazione parametrica regolare

Lezione 6 - Ascissa curvilinea. Rappresentazione naturale

Lezione 7 - Ambiguità nella definizione di curva regolare

Lezione 7 - Vettore tangente a una curva regolare. Il vettore velocità

Lezione 8 - Riparametrizzazione. Sostituzione di parametro ammissibile. Curva regolare

Lezione 9 - Interpretazione cinematica di una curva regolare

Lezione 10 - Curve piane in forma implicita

Lezione 11 - Retta tangente a una curva in forma implicita

Lezione 12 - Ascissa curvilinea. Rappresentazione naturale di una curva regolare

Argomenti avanzati

Lezione 12 - Introduzione al concetto di varietà differenziabile

Lezione 13 - Premesse topologiche
Lezione 14 - Omeomorfismi, spazi di Hausdorff. Varietà topologica

Lezione 14a - Topologia discreta. Un esempio di spazio di Hausdorff
Lezione 14b - Applicazioni continue
Lezione 14c - Verso una numerizzazione dello spazio
Lezione 14d - Varietà topologica connessa
Lezione 14e - L'insieme di Cantor

Lezione 14d1 - Introduzione
Lezione 14d2 - L'insieme di Cantor è un insieme di misura nulla
Lezione 14d3 - L'insieme di Cantor e la rappresentazione in base 3
Lezione 14d4 - Caratterizzazione dell'insieme di Cantor attraverso un importante teorema
Lezione 14d5 - Riepilogo parziale sull'insieme di Cantor
Lezione 14d6 - L'insieme di Cantor è un insieme perfetto
Lezione 14d7 - L'insieme di Cantor quale Macchina Ricorsiva Topologica