La serie di Dirichlet nel campo reale

venerdì, Ottobre 29th, 2021

serie di dirichlet,campo reale,convergenza

Esercizio
Nel campo reale la serie di Dirichlet è definita da

essendo {c_n} una successione di elementi di R. Studiarne la convergenza applicando il criterio dell'integrale, nel caso particolare

Soluzione

Poniamo

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Comportamento oscillante della somma di una serie di Dirichlet

lunedì, Ottobre 4th, 2021

serie di Dirichlet,serie di fourier,funzione zeta di riemann — **Fig. 1**

Da un punto di vista formale esiste un'analogia tra una seriei di Dirichlet e una serie di Fourier. Come è noto, in quest'ultimo caso una qualunque funzione periodica f(t) (sufficientemente regolare), si esprime come sovrapposizione lineare di infinite componenti monocromatiche ciascuna di frequenza ω_n appartenenti a uno spettro che si distribuisce linearmente. Alla stessa maniera, la somma di una serie di Fourier valutata (in modulo) lungo una retta appartenente al dominio di convergenze) si esprime come sovrapposizione lineare di infinite componenti monocromatiche ciascuna di frequenza Ω_n=ln(n) appartenenti a uno spettro che si distribuisce logaritmicamente. Si badi che a differenza della f(t), la funzione data dalla somma della serie di Dirichlet non è periodica ma è comunque oscillante.
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