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Comportamento oscillante della somma di una serie di Dirichlet

Da un punto di vista formale esiste un'analogia tra una seriei di Dirichlet e una serie di Fourier. Come è noto, in quest'ultimo caso una qualunque funzione periodica f(t) (sufficientemente regolare), si esprime come sovrapposizione lineare di infinite componenti monocromatiche ciascuna di frequenza ω_n appartenenti a uno spettro che si distribuisce linearmente. Alla stessa maniera, la somma di una serie di Fourier valutata (in modulo) lungo una retta appartenente al dominio di convergenze) si esprime come sovrapposizione lineare di infinite componenti monocromatiche ciascuna di frequenza Ω_n=ln(n) appartenenti a uno spettro che si distribuisce logaritmicamente. Si badi che a differenza della f(t), la funzione data dalla somma della serie di Dirichlet non è periodica ma è comunque oscillante.

Ci si aspetta un analogo comportamento oscillante per ciò che riguarda il modulo del prolungamento analitico della somma della serie. Nel caso speciale della funzione di zeta di Riemann, ci ritroviamo, quindi, con uno spettro ad andamento logaritmico anche nella fascia critica.

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Tags: funzione Zeta di Riemann, serie di Dirichlet, Serie di Fourier