Criterio dell'integrale

Ottobre 27th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Lemma
Sia Σ_nu_n una serie a termini positivi. Se la successione delle sue somme parziali è limitata, allora la serie è convergente. Nel caso contrario, la serie diverge.
Dim.

Segue direttamente da un teorema dimostrato in questa lezione.

Sia data una serie a termini positivi:

Si ponga u_n=f(n) dove

per poi generalizzare al continuo:

essendo X=[1,+oo). Tale funzione è manifestamente non negativa in X ed è ivi monotonamente decrescente. Ne segue la sua integrabilità in X'=[ξ,+oo) con ξ intero naturale maggiore o uguale di 1:

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:
Criterio dell'integrale

Dim.

Assegnato un intero naturale ξ > =1 e per ogni intero N > ξ , eseguiamo una decomposizione dell'intervallo [ξ,N] in intervalli di ampiezza unitaria:

Siano rispettivamente R ed R' il plurirettangolo inscritto e il plurirettangolo circoscritto al rettangoloide di base [?,N] e relativo a f(x) (fig.1). Precisamente:

essendo

Ne segue

Per una nota proprietà

Eseguendo l'operazione di passaggio al limite per N->+oo

Se L < +oo le somme parziali

costituiscono una successione limitata, da cui l'asserto per il lemma precedente. Viceversa se l'integrale diverge, la successione delle somme parziali a sua volta diverge.