Archive for the ‘Analisi Matematica III’ Category

La serie di Fourier di questa funzione non converge mai

venerdì, Luglio 8th, 2022

serie di fourier, convergenza, derivata
Fig. 1.


Riprendiamo la serie dell'esercizio precedente:

Per quanto visto, questa serie converge a una funzione f(x) non elementarmente esprimibile e non derivabile in alcun punto del suo insieme di definizione (R). Per una nota proprietà, segue che la serie di Fourier relativa a tale funzione, non converge. (altro…)




Integrazione in un intorno di un punto singolare regolare. Il metodo di Frobenius

giovedì, Dicembre 16th, 2021

integrazione in un intorno di un punto singolare regolare. Il metodo di Frobenius


Assegnata l'equazione differenziale

supponiamo che x0 sia un punto singolare regolare. Si noti che possiamo porre x0=0 (basta eseguire il cambio di variabile t=x-x0. Enunciamo senza dimostrare il seguente
Teorema di esistenza
Se x=0 è un punto singolare regolare dell'equazione differenziale assegnata, in un opportuno intorno destro del predetto punto, la predetta equazione ammette una soluzione del tipo

dove λ è una costante.

Questo teorema è il punto di partenza del metodo di Frobenius, che consiste nel determinare λ, "forzando la soluzione" ossia imponendo che la serie di potenze scritta sopra risolva l'equazione assegnata. In tal modo si perviene a un'equazione di ricorrenza per i coefficienti della serie di potenze, e ad un'equazione per λ, nota come equazione indiciale. Precisamente, è un'equazione quadratica per cui ci aspettiamo (in generale radici complesse). Escludendo questo caso, si ha


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