Archive for the ‘Analisi Matematica I’ Category

Studio della funzione f(x)=arccos(-cosx)

domenica, Luglio 10th, 2022

studio di funzione,arcocos,funzione invertibile/><figcaption>
        <b></b><br />
</figcaption></figure>
<p></center></p>
<hr />
<p align=justify>Iniziamo con quest'altra funzione più semplice:</p>
<p><center><img src=

Siamo tentati a scrivere:

Ma ciò è sbagliato. Precisamente, se f:X->R è una funzione invertibile, si ha:

essendo f-1 l'inversa. Tuttavia cosx non è invertibile, ma lo è localmente. Per convenzione viene preso l'intervallo [0,π] ove cosx è strettamente crescente (quindi invertibile), da cui l'esistenza dell'inversa che come sappiamo è denominata con arccos. Ne segue

Inoltre, arccos(cos x) è pari ed è periodica di periodo 2π. Quindi, possiamo ricostruire per simmetria rispetto all'asse delle ordinate, il suo grafico nell'intervallo [-π,0]. Il risultato è in fig.


Tenendo poi conto della periodicità otteniamo il grafico di fig.


Passiamo ora alla funzione assegnata. A tale scopo ricordiamo che


per cui


e tenendo conto del risultato precedente

mentre in [-π,0] si procede per simmetria rispetto all'asse y, ottenendo il grafico di fig.

(altro…)




Grafico di f(x)=arccos(cosx)

giovedì, Luglio 7th, 2022

Grafico di f(x)=arccos(cosx)
Fig. 1.


Esercizio
Graficare la funzione riportata in fig. 1.
Soluzione

La funzione è definita su tutto l'asse reale, ed è periodica di periodo 2π, per cui possiamo limitarci all'intervallo [-π,π]. Inoltre è funzione pari perchè tale è cosx:


Inoltre


Tenendo conto della parità della funzione, il grafico della sua restrizione [-π,π] si presenta come in fig. 1. Prolungando per periodicità, otteniamo il grafico di fig 1