Archive for the ‘Analisi Matematica II’ Category

Algoritmo di ricerca degli zeri della funzione zeta di Riemann

mercoledì, Agosto 3rd, 2022

zeri della funzione zeta di riemann
Fig. 1.


Abbiamo stabilito il seguente risultato: denominando con z=x+iy l'usuale variabile complessa, la funzione di rappresentazione integrale

ha gli stessi zeri non banali della funzione zeta di Riemann ζ(z). Avevamo poi determinato due funzioni reali F,G tali che


cioè


riferendoci alla loro restrizione alla semistriscia critica:

Dall'olomorfia di Φ*(z) in Scrit segue l'armonicità delle funzioni F,G nonché la loro continuità. Sono dunque verificate le ipotesi del teorema della media di Gauss. Quindi, comunque prendiamo un dominio circolare CR(x0,y0) contenuto in Scrit, si ha:

Non consideriamo il semipiano y <0 per una proprietà di simmetria degli zeri. Ricordiamo a tale proposito la simmetria rispetto alla retta critica Rez=1/2, per cui le equazioni scritte sopra implicano:


È comodo introdurre un parametro δ


Quindi

Senza perdita di generalità riferiamoci al caso 1/2-δ. Eseguendo la parametrizzazione (fig. 1)

conformemente alla convenzione secondo cui il verso di percorrenza positivo del cammino di integrazione è quello di un ipotetico osservatore che percorrendo la curva, lascia alla sua sinistra l'interno del dominio considerato.
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Zero-detector per funzioni armoniche (ricerca di zeri tramite integrazione)

lunedì, Agosto 1st, 2022

Teorema della media di Gauss,funzioni armoniche,equazione di Laplace


Immaginiamo virtualmente un omino che vaga nel piano cartesiano xy, alla disperata ricerca degli zeri di una assegnata funzione armonica f(x,y). Non riuscendo a determinare gli zeri per "forza bruta" cioè risolvendo l'equazione f(x,y)=0, l'omino ha con sé uno zero-detector che funziona nella seguente maniera: se l'omino inciampa su uno zero, cioè ci sta proprio sopra, il detector emetterà il classico bip-bip-bip... Se, invece, si trova a una distanza R non ci sarà alcun bip bip, anche per valori arbitrariamente piccoli di R. Allora, l'omino non dovrà fare altro che un giro tondo attorno allo zero, cioè mantenendosi a distanza R, e integrando la funzione lungo il percorso (assumendo che f sia continua). A fine percorso, il detector "erutterà" nuovamente il bip-bip, segno che nel centro della circonferenza, c'è uno zero. Alternativamente, può integrare sul cerchio di raggioi R, ritrovando nuovamente zero.

Scherzosamente, abbiamo illustrato due importanti teoremi sulle funzioni armoniche. Il primo è il Teorema della media di Gauss. (altro…)