» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Un approccio computazionale al problema della convergenza della serie di Fourier

La ricerca di condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza della serie di Fourier di una funzione periodica è un problema aperto dell'Analisi matematica. Infatti, sono note solo alcune condizioni sufficienti - denominate condizioni di Dirichlet - che compongono un criterio di convergenza puntuale della serie, noto in letteratura come Teorema di Dirichlet.

Le condizioni di Dirichlet richiedono la continuità a tratti della funzione f(x). Tuttavia nei punti in cui la funzione ha una discontinuità di prima specie, la serie di Fourier converge verso la media aritmetica dei limiti destro e sinistro in un punto di di discontinuità. Inoltre, tali punti di discontinuità danno luogo al cosiddetto fenomeno di Gibbs, che consiste in oscillazioni dello sviluppo in serie con conseguente non convergenza, come possiamo vedere dal grafico al top.

Questo lavoro è costituito da esperimenti computazionali eseguiti nell'ambiente di calcolo Mathematica, il cui scopo è quello di analizzare le cause della non convergenza della serie. Fondamentalmente, l'approccio si articola in due parti:

1. Il ruolo svolto dalla derivata di f(x)
2. Il ruolo svolto dalla monotonia di f(x)

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Tags: condizione di lipschitz, fenomeno di gibbs, funzioni lipchitziane, Funzioni periodiche, Serie di Fourier