Centro di massa e moto del centro di massa (seconda parte)

sabato, Febbraio 20th, 2021

centro di massa, moto del centro di massa,densità — **Fig. 1**

Un'ulteriore generalizzazione di tale risultato è data dal caso in cui il sistema meccanico in istudio anziché essere un insieme di punti materiali, è una distribuzione continua di massa. Più precisamente, se m è la massa del sistema, la massa contenuta in un elemento di volume dV=dxdydz=d³x centrato nel punto di vettore posizione r=xi+yj+zk, è

essendo ρ(r) la densità del sistema (v. fig. 1 dove D denota la regione dello spazio ordinario occupata dal sistema).
Ne segue

La seconda equazione definisce il vettore posizione del centro di massa del sistema continuo. Precisamente, seguono le coordinate cartesiane del predetto punto (fig. 1).

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Centro di massa e moto del centro di massa (parte prima)

venerdì, Febbraio 19th, 2021

sistemi di punti materiali,centro di massa,moto del centro di massa

Nella lezione precedente abbiamo asserito che in molti casi un sistema meccanico può essere schematizzato da un unico punto in cui si suppone concentrata la massa del sistema medesimo. Per dimostrare in maniera rigorosa tale asserzione consideriamo dapprima il caso più semplice: un sistema meccanico costituito da due masse m1 e m2, ciascuna delle quali schematizzabile attraverso un punto materiale. Supponiamo poi che il sistema sia sottoposto a forze esterne. Precisamente una forza F1 agente su m1 e una forza F2 agente su m2. L'interazione reciproca è invece rappresentata da due forze f e -f, che rappresentano manifestamente le forze interne. Applichiamo poi il secondo principio della dinamica alle singole masse, ottenendo due equazioni differenziali vettoriali, ciascuna per ogni particella. A questo punto è facile definire la massa totale e un vettore posizione r_c dato dalla media ponderata dei vettori posizione di singola particella, per poi verificare che il corrispondente punto posizionato in r_c si muove come un punto materiale soggetto alla sola risultante delle forze esterne, e avente massa pari alla massa totale del sistema. Ed è appunto questa la definizione di centro di massa di un sistema meccanico. Risultato facilmente generalizzabile a un sistema di n particelle.

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