Il limite quale punto di aderenza per il codominio di una funzione

sabato, Febbraio 20th, 2021

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Fig. 1


Proposizione
Se la funzione f:X->R è convergente in x0, il limite l è un punto di aderenza per il codominio f(X).


Dim.

L'asserto segue dalla definizione di limite:


illustrata in fig. 1.

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Funzione convergente in modulo, ma non implica necessariamente la convergenza

lunedì, Febbraio 15th, 2021

convergenza,convergenza in modulo,limite
Fig. 1


Per una funzione che tende a un limite finito (ovvero che converge) ci si può chiedere: converge anche in modulo?. Cioè, il valore assoluto della funzione converge? Intanto dimostriamo la proposizione inversa, ossia se la funzione converge a un limite L, il suo valore assoluto converge al valore assoluto del limite (|L|). Ma non sempre è vero il viceversa, ad eccezione del caso ovvio L=0 (cioè quando la funzione è infinitesima per x che tende al punto di accumulazione considerato). Proponiamo un controesempio (fig. 1) di una funzione convergente in modulo ma che non converge ad alcun limite.

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