Operazione di passaggio al limite. Specificare la topologia dello spazio in cui si lavora

Settembre 29th, 2021 | by Marcello Colozzo |

limite, topologia
Fig. 1

Premettiamo la seguente proprietà
Proprietà di densità
L'insieme Q dei numeri razionali è denso in R, ossia comunque prendiamo x,y in R con x diverso da y, esistono infiniti numeri razionali compresi tra x e y.


Consideriamo ora la seguente funzione definita in X=Q+ (insieme dei razionali non negativi):

Un assegnato xn=n è di accumulazione per X giacché per la proprietà di densità, in ogni intorno di xn cade almeno un punto (=> infiniti) di X distinto da n. Ciò ci consente di poter applicare la definizione di limite. Nel caso in esame, risulta:


per cui la funzione assegnata è ivi continua. Diversamente:

In definitiva:

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