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Gli zeri della funzione zeta di Riemann potrebbero essere punti di sella per la parte reale e la parte immaginaria

sabato, Agosto 6th, 2022

zeri della funzione zeta di riemann
Fig. 1.


A differenza delle funzioni reali di due variabili reali, i cui zeri possono distribuirsi con continuità secondo un luogo geometrico assegnato, per le funzioni olomorfe gli zeri costituiscono un insieme al più infinito numerabile.

Nel caso delle funzioni reali si pensi all'esempio di f(x,y)=sin(x*y), per cui il luogo degli zeri è l'intersezione della superficie z=sin(x*y) con il piano coordinato xy. Quindi x*y=k*pi.

Per quanto precede, per una funzione olomorfa il grafico del modulo della funzione interseca il piano xy dando luogo a un insieme di punti isolati. È intuitivo considerare questi punti quali punti di estremo relativo per la funzione. Ma ciò è impossibile perché sarebbero punti di estremo relativo per la parte reale e la parte immaginaria della funzione zeta. Ma tali funzioni sono funzioni armoniche e per una nota proprietà, esse sono prive di punti di estremo relativo (al più sono punti di sella). (altro…)




Dimostrazione dell'Ipotesi di Riemann

mercoledì, Luglio 20th, 2022

Dimostrazione dell'Ipotesi di Riemann
Fig. 1.

Introduzione

Come è noto:

dove ζ(s) è la funzione zeta di Riemann. Ricordiamo che denotando con s=x+iy l'usuale variabile complessa, si ha

per cui nella prima equazione il primo membro è il prolungamento analitico della somma della serie di Dirichlet appena scritta. Si esclude s=1 a causa della singolarità (polo semplice) della funzione zeta.

Riemann ricavò la seguente equazione funzionale:

Ipotesi di Riemann (RH)

Gli zeri non banali della ζ(s) cadono nella striscia critica

da ciò segue la simmetria della funzione zeta rispetto alla retta critica Re(s)=1/2. Un'altra importante simmetria è rispetto all'asse reale. Quindi riferiamoci alla semistriscia critica:

Teorema (Ipotesi di Riemann)
Gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, hanno parte reale 1/2.

Dim.

Dalle equazioni scritte più sopra


dove

ed ivi olomorfa, giacché le singolarità di Γ(s) sono in s=-n, esendo n intero naturale arbitrario. Dalla formula di Eulero segue facilmente


da cui separando la parte reale dalla parte immaginaria:


essendo

Deriviamo primo e secondo membro della prima delle eq. scritte sopra, rispetto a x

Deriviamo nuovamente

Otteniamo facilmente la derivata parziale di ordine n


Alla stessa maniera

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