Comportamento oscillante della somma di una serie di Dirichlet

lunedì, Ottobre 4th, 2021

serie di Dirichlet,serie di fourier,funzione zeta di riemann — **Fig. 1**

Da un punto di vista formale esiste un'analogia tra una seriei di Dirichlet e una serie di Fourier. Come è noto, in quest'ultimo caso una qualunque funzione periodica f(t) (sufficientemente regolare), si esprime come sovrapposizione lineare di infinite componenti monocromatiche ciascuna di frequenza ω_n appartenenti a uno spettro che si distribuisce linearmente. Alla stessa maniera, la somma di una serie di Fourier valutata (in modulo) lungo una retta appartenente al dominio di convergenze) si esprime come sovrapposizione lineare di infinite componenti monocromatiche ciascuna di frequenza Ω_n=ln(n) appartenenti a uno spettro che si distribuisce logaritmicamente. Si badi che a differenza della f(t), la funzione data dalla somma della serie di Dirichlet non è periodica ma è comunque oscillante.
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Interpretazione quantistica della distribuzione degli zeri della funzione zeta di Riemann

mercoledì, Settembre 29th, 2021

funzione zeta di riemann,ipotesi di riemnn, zeri — **Fig. 1**

Sia S_q un sistema quanto-meccanico unidimensionale non relativistico e privo di spin. Supponendo che sia soggetto a un campo di forze conservativo di energia potenziale V(x), l'operatore hamiltoniano si scrive:

Supponiamo per V(x):

Ne segue che tale sistema ammette solo stati legati (ovviamente non degeneri, per una nota proprietà dei sistemi unidimensionali). Le autofunzioni dell'energia risolvono la ben nota equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo:

È interessante immaginare un potenziale V(x) tali che gli autovalori dell'energia siano proporzionali alla parte immaginaria degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann: