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Interpretazione quantistica della distribuzione degli zeri della funzione zeta di Riemann

Settembre 29th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Sia S_q un sistema quanto-meccanico unidimensionale non relativistico e privo di spin. Supponendo che sia soggetto a un campo di forze conservativo di energia potenziale V(x), l'operatore hamiltoniano si scrive:

Supponiamo per V(x):

Ne segue che tale sistema ammette solo stati legati (ovviamente non degeneri, per una nota proprietà dei sistemi unidimensionali). Le autofunzioni dell'energia risolvono la ben nota equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo:

È interessante immaginare un potenziale V(x) tali che gli autovalori dell'energia siano proporzionali alla parte immaginaria degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann:

dove: Ω > 0 è una costante con le dimensioni di una frequenza angolare (pulsazione), mentre

essendo ρ_n l'n-esimo zero della funzione zeta. Per l'ipotesi di Riemann:

Si ricordi che la distribuzione degli zeri è simmetrica rispetto all'asse reale, cioè:

Scriviamo

per cui è sufficiente riferirsi solo a n=0,1,2....Si badi, altresì, che la presenza della «pulsazione» Ω non implica un comportamento del tipo «oscillatore armonico», giacché nel caso in esame la funzione V(x) è tutt'altro che un potenziale armonico, anzi forse non è nemmeno elementarmente esprimibile. L'unico elemento che accumuna questo strano sistema all'oscillatore armonico è l'energia di punto zero:

che come è noto, è una conseguenza del principio di indeterminazione. In fig. 1 riportiamo la distribuzione dei livelli energetici calcolati con Mathematica nel range [0,8000], evidenziando poi il fenomeno di Lehmer.

Tags: funzione Zeta di Riemann, ipotesi di riemnn, zeri

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