» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Prime proprietà della funzione zeta di Riemann nel campo reale

giovedì, Ottobre 7th, 2021

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Dimostriamo alcune proprietà della funzione zeta di Riemann elencate in fig. 1.
La prima è ovvia:

Per dimostrare la terza, componiamo il sistema

Espandiamo le singole serie, e nella prima utilizziamo la proprietà associativa:

Sottraendo membro a membro:

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Serie a termini di segno costante. La funzione zeta di Riemann

giovedì, Ottobre 7th, 2021

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Definizione
Una serie

si dice a termini di segno costante se

Senza perdita di generalità, consideriamo il caso delle serie i cui termini sono non negativi.
Teorema
Una serie a termini non negativi non è mai indeterminata.

Dim.

Abbiamo

Consideriamo la successione delle somme parziali:

che è ovviamente una funzione

Dal momento che {S_N} è monotonamente crescente, per una nota proprietà:

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