In questa lezione mostriamo la non regolarità della funzione signum che come sappiamo è così definita: sgn(x)=|x|/x, se x diverso da zero; sgn(x)=0 se x=0. Ad esempio per x che tende a zero, siamo tentati a scrivere lim=0. Ma comunque prendiamo un intorno di lim=0, possiamo associare intorni di x=0 per i quali i valori assunti dalla funzione non appartengono all'intorno di lim=0. In maniera analoga per lim=1 e lim=-1.
ha in x = 1 un punto di discontinuità di prima specie, giacché:
La discontunuità `e dovuta alla presenza di |x-1|/(x-1) che può essere scritta come sgn(x - 1), dove sgn(·)
è la funzione signum:
Un’altra funzione che presenta punti di discontinuità di prima specie è arctan il cui argomento ha
una discontinuità di seconda specie. Più precisamente, consideriamo la funzione composta
con g(x) tale che
Segue
onde x0 è un punto di discontuinità di prima specie con salto s(x0)=π. Se invece
x0 è un punto di discontuinità eliminabile. Di seguito alcuni esempi. Esempio 1
Studiamo il comportamento della funzione
in un intorno di x=1. Abbiamo
Il grafico è riportato in fig. 1.
Studiamo il comportamento della funzione
in un intorno di x=1. Abbiamo
per cui x=1 è un punto di discontuinità eliminabile.