Serie esponenziale

venerdì, Novembre 12th, 2021

È la serie di Mac-Laurin relativa alla funzione esponenziale f(x)=e^x. Riesce:

Ne segue

Sussiste il teorema

Teorema

Dim.

Occorre provare l'asserto in ogni intervallo [-a,a] essendo a > 0 preso ad arbitrio. Abbiamo

da cui l'asserto in virtù del criterio visto nella lezione precedente. Inoltre

dunque la serie esponenziale è assolutamente convergente (per il criterio del rapporto).

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Limite di (e^x-e^-x-2x)/(x-sinx) per x che tende a zero

mercoledì, Febbraio 10th, 2021

limite per x che tende a zero,esponenziale,sin — **Fig. 1**

Per calcolre il limite scritto in fig. 1, proviamo a sostituire il valore x=0 e come c'era da aspettarsi esce fuori la forma indeterminata 0/0. Proviamo a vedere se è possibile una qualche manipolazione. A denominatore abbiamo x-sinx, la cui derivata è 1-cosx che ci ricorda un limite fondamentale (quale?). Allora applichiamo la regola di L'Hospital e ovviamente si ripresenta la stessa forma indeterminata. Ma non applichiamo nuovamente L'Hospital bensì un artificio che ci riconduce al predetto limite fondamentale, dopodiché il risultato è quasi immediato.

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