Serie di Taylor

Novembre 12th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1. Sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione sin(x) in [-10,10]. I singoli grafici si riferiscono allo sviluppo troncato ad un ordine assegnato.

Consideriamo un intervallo X (contenuto in R) e una funzione f di classe (n+1) su X (cioè derivabile in X n+1 volte con derivate continue). Preso ad arbitrio x0 in X, ricordiamo la formula di Taylor:

dove il resto Rn(x) si presenta in due espressioni diverse. Precisamente, il resto di Lagrange:


e il resto di Cauchy:

Se f è di classe Coo(X) (cioè dotate di derivate di ordine comunque elevato, e continue in X) la formula di Taylor può essere scritta per n arbitrariamente grande, per cui è univocamente definita la serie di funzioni:

Definizione
La serie


si dice serie di Taylor relativa alla funzione f(x) e ad al punto iniziale x0 (serie di Mac Laurin se x0=0).


Ciò posto, ci chiediamo:

  1. la predetta serie converge?
  2. In caso affermativo, la somma è f(x)?

A tali domande risponde il seguente teorema:

Teorema


Dim.

La somma parziale di ordine n+1 è


per cui

Definizione
Nelle ipotesi del teorema appena dimostrato, diremo che la funzione f(x) è sviluppabile in serie di Taylor, di punto iniziale x0, nell'intervallo X.


Dimostriamo un criterio (condizione sufficiente, ma non necessaria) per la predetta sviluppabilità.

Criterio

Dim.

Prendiamo il resto di Lagrange:


Segue


da cui l'asserto in virtù del teorema precedente.

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