Criterio del rapporto e suo corollario

Ottobre 15th, 2021 | by Marcello Colozzo |

criterio del rapporto, serie,convergenza assoluta

Criterio del rapporto
Sia u_n il termine n-esimo di una serie numerica, supponendo che siano tutti diversi da zero.

Dim.

Proviamo la prima implicazione. Per ipotesi

Cioè

Tenendo conto che la serie geometrica di ragione p converge (in quanto 0 < p < 1), in virtù del criterio di confronto, la serie assegnata è assolutamente convergente. Proviamo la seconda implicazione:

da cui la non convergenza della serie data, in virtù di un corollario dimostrato in questa lezione.

Negli esercizi risulta utile il seguente corollario, che però è inapplicabile per l=1.

Corollario

Dim.

Se l < 1, dalla definizione di limite di una successione:

da cui l'assoluta convergenza della serie data, in virtù del criterio della radice. Se l > 1, dalla medesima definizione:

onde la non convergenza della serie data, in virtù del criterio del rapporto.