[¯|¯] I primi otto numeri primi mediante gli zeri della funzione zeta di Riemann

domenica, Aprile 30th, 2017

distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

Per scrivere un programma con Mathematica che sia in grado di riprodurre le discontinuità di prima specie della distribuzione π₀(x), utilizziamo innanzitutto un'approssimazione del termine G(x) proposta da Riesel-Göhl.

dopodiché definiamo la "componte continua" della π₀(x)
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

dove R(x) è l'approssimazione di Riemann espressa attraverso la serie di Gram troncata a un ordine N (un valore tipico è N=100)
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

In figura riportiamo i grafici delle restrizioni delle funzioni π₀(x) e R₀(x) all'intervallo [12,100].

Riprendiamo ora il termine correttivo H(x) iniziando la somma da n=1 giacchè Mathematica enumera con questa modalità gli zeri della zeta di Riemann che sono built-in, onde definiamo dapprima la seguente funzione che restituisce l'n-esimo zero:
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

H(x) si presenta nella forma:
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

che è mostruosamente complicata pur troncando le serie alle somme parziali
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

I parametri liberi della routine sono (N,N₀). Per quanto detto, l'intero naturale non nullo N è il numero di zeri della zeta, mentre N₀ è già stato esaminato nei numeri precedenti dove avevamo posto N₀=154, mentre [SW] utilizza per l'altro parametro il valore N=50 . In parole povere dobbiamo calcolare il contributo proveniente dai primi 50 zeri non banali della zeta di Riemann.
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[¯|¯] La funzione esponenziale integrale

martedì, Aprile 18th, 2017

funzione esponenziale integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi

Nel numero precedente abbiamo esaminato la funzione logaritmo integrale che risulta essere una buona approssimazione della funzione π(x) di distribuzione dei numeri primi.

L'estremo inferiore è fissato a 2, poiché π(x<2)=0. La relazione approssimata suggerisce di interpretare l'integrando

quale densità (approssimata) dei numeri primi. Infatti, supponendo che π(x) sia esattamente esprimibile attraverso un integrale
funzione esponenziale integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi

si ha che per un assegnato

l'espressione differenziale g(x₀)dx=dπ è il numero di primi nell'intervallo infinitesimo [x₀,x₀+dx], onde la funzione
funzione esponenziale integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi

è la densità dei numeri primi.
Osservazione
Tali argomentazioni hanno un significato puramente formale giacché i numeri primi non si distribuiscono con continuità, per cui non ha senso una locazione del tipo "numero di primi nell'intervallo infinitesimo [x₀,x₀+dx]".

Un'altra funzione integrale che interviene nell'espressione della funzione di distribuzione dei numeri primi è l'esponenziale integrale:
funzione esponenziale integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi