[¯|¯] La funzione esponenziale integrale

Aprile 18th, 2017 | by Marcello Colozzo |

funzione esponenziale integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi

Nel numero precedente abbiamo esaminato la funzione logaritmo integrale che risulta essere una buona approssimazione della funzione π(x) di distribuzione dei numeri primi.

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L'estremo inferiore è fissato a 2, poiché π(x<2)=0. La relazione approssimata suggerisce di interpretare l'integrando
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quale densità (approssimata) dei numeri primi. Infatti, supponendo che π(x) sia esattamente esprimibile attraverso un integrale
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si ha che per un assegnato

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l'espressione differenziale g(x0)dx=dπ è il numero di primi nell'intervallo infinitesimo [x0,x0+dx], onde la funzione
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è la densità dei numeri primi.
Osservazione
Tali argomentazioni hanno un significato puramente formale giacché i numeri primi non si distribuiscono con continuità, per cui non ha senso una locazione del tipo "numero di primi nell'intervallo infinitesimo [x0,x0+dx]".

Un'altra funzione integrale che interviene nell'espressione della funzione di distribuzione dei numeri primi è l'esponenziale integrale:
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Conviene eseguire il cambio di variabile
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Determiniamo i nuovi estremi di integrazione
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Cioè

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Ridifinendo la variabile muta:

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che è manifestamente convergente. La funzione integranda
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ha in x=0 una discontinuità di seconda specie. Precisamente è infinita:
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risultando del prim'ordine rispetto all'infinito di riferimento 1/|x|. Inoltre, comunque prendiamo a>0 la funzione integranda è negativa in [-a,0) e positiva in (0,a], onde

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da cui la non integrabilità in ogni intervallo [-a,a]:

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In fig. 1 sono riportati i rettangoloidi generalizzati nei rispettivi intervalli di integrazione. Risulta comunque convergente la parte principale di Cauchy:

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Tale circostanza suggerisce di estendere Ei(x) a x>0

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avendosi

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Di seguito il grafico di Ei(x) in [-1,1]

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