[¯|¯] Esecuzione test n° 001 della Congettura di Riemann

martedì, Maggio 2nd, 2017

distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann — **Fig. 1**

Nel post precedente abbiamo considerato la formula approssimata per il termine correttivo T_n(x) al fine di alleggerire il carico computazionale. In linea di principio, si può utilizzare l'espressione esatta, comunque troncata alla somma parziale di ordine 154:

con

Ricordiamo che σ_n è un parametro reale che controlla la veridicità della congettura di Riemann. Dopo una serie di passaggi:

per N>ν_ε, essendo ν_ε un indice dipendente da ε>0. Il problema che si apre, volendo testare la congettura di Riemann, consiste nell'assegnare un'espressione a σ_n. Proviamo ad assumere una distribuzione di numeri reali random compresi tra 0 e 1. Ripetendo la routine con Mathematica, troviamo il grafico di figura 1, da cui vediamo che la disuguaglianza precedente viene manifestamente violata.
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[¯|¯] Un possibile test per verificare la Congettura di Riemann

martedì, Maggio 2nd, 2017

Analisi locale

Abbiamo visto che l'espressione esatta della funzione di distribuzione π₀(x) è:

dove i termini a secondo membro sono stati studiati nei numeri precedenti. Chiediamoci: qual'è la differena tra π₀(x) e la funzione π(x)? Rammentiamo innanzitutto che assegnato un numero primo p_m dove m è un intero naturale, si ha:
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

Ne consegue che π(x) è definita in ogni x=p_m, ma è ivi non regolare, risultando convergente a sinistra e a destra, come vediamo dal grafico di figura:

Secondo Riesel-Göhl la funzione π₀(x) ha una discontinuità di prima specie in ogni x=p_m, ma a differenza del caso di π(x), si tratta di una discontinuità simmetrica:

o ciò che è lo stesso:
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

La figura seguente mostra appena scritto:
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

mentre quest'altro grafico mostra il caso π₀(3)=3/2, π₀(2)=1/2.
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

Noi, invece, abbiamo trovato un comportamento differente. Più precisamente, risulta:
distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

ovvero la funzione π₀(x) riproduce il comportamento della π(x) non solo per le discontinuità ma anche per il valore ivi assunto. Abbiamo eseguito una routine in ambiente Mathematica simile alla precedente, con la differenza di aver assegnato un intervallo centrato in p₂₀=71, considerando il contributo provieniente dai primi 100 zeri della funzione zeta di Riemann.
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