[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Gohl (parte prima)

Aprile 20th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann
Fig. 1

Nel 1970 i matematici svedesi Hans Riesel e Gunnar Gohl pubblicarono sulla rivista Matematics of Computation,un articolo sugli effetti della funzione

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

sull'andamento della distribuzione
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

che nel predetto articolo viene troncata a un termine N-esimo:
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Riesel e Gohl assumono N=154 per due ragioni:

  1. per tale valore di N, l'errore sulla determinazione di π0(x) è <10-4.
  2. Risulta:
    Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann
  3. come vediamo dal grafico:

    Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

La condizione 2 consente di approssimare la funzione integrale

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Più precisamente, il termine che può essere approssimato è

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Cioè
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

essendo
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Per N=154
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann









Per eseguire la predetta approssimazione, consideriamo innanzitutto la funzione integranda in Ik(x):

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

che è definita nell'unione dei due intervalli aperti (0,1) e (1,+oo). Inoltre:

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

L'altro limite:

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

onde

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Calcoliamo:

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

per cui
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

A noi interessa t>1 poiché è x1/k>1, per ogni x>0. Riesce
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

giacchè g(t)>0 è per t->+oo un infinitesimo di ordine >1. Tuttavia ci si avvicina al valore 1 dell'estremo inferiore di integrazione nel limite dei grandi k:
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Per studiare il comportamento di tale integrale dobbiamo determinare l'ordine di infinito (se esiste) della funzione integranda g(t) per t->1+. Assumendo come infinito di riferimento 1/(t-1), si ha:
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

L'altro limite si calcola facilmente con la regola di De L'Hospital:

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

In altri termini, la funzione integranda è un infinito di ordine 2 per t->1+, per cui l'integrale diverge. Dal segno della funzione segue:

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

L'analisi matematica ci dice, quindi, che il contributo dominante all'integrale Ik(x) proviene dai "grandi" valori di k, poiché in corrispondenza di questi l'estremo inferiore di integrazione è circa 1. Viceversa, nel limite dei piccoli k è x1/k»1 e l'integrale è trascurabilmente piccolo, in quanto la funzione integranda si annulla rapidamente (come mostrato nel grafico di fig. 1 (al top di questa pagina).

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)

Tags: , , ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio