[¯|¯] Funzioni lipschitziane ed equazioni differenziali del moto

mercoledì, Marzo 8th, 2017

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Introduzione. La condizione di Lipschitz

Definizione (Condizione di Lipschitz)

Sia f:X->R una una funzione reale di una variabile reale

Il numero reale positivo α si dice coefficiente di Lipschitz.

Le funzioni che verificano la condizione appena vista si dicono lipschitziane. Sussiste il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema
Se f è lipschitziana in X, allora f è ivi uniformemente continua
Osservazione
La condizione di Lipschitz si può scrivere come

In altri termini, una funzione lipschitziana f ha i rapporti incrementali limitati.

La condizione di Lipschitz si generalizza alle funzioni di più variabili. Quindi consideriamo:
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Definizione
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essendo A_h la proiezione dell'insieme di definizione A di f sull'asse coordinato x_h.

Il problema di Cauchy nel caso dell'equazione differenziale del moto di una particella

Consideriamo una particella che si muove lungo una retta sotto l'azione di una forza nota. Fissato un riferimento cartesiano R(Ox) sulla retta che sia in grado di definire un sistema di riferimento inerziale K, la seconda legge di Newton si scrive:

dove la funzione a secondo membro è il modulo della forza agente sulla particella. Si noti che tale ente fisico dipende (in generale) oltre che dal tmpo misurato dall'orologio di K, dall'ascissa x e dalla velocità scalare della particella.

Se F dipende solo dalla variabile x si ha che la funzione reale F(x) della variabile reale x definisce un campo di forze. Tale circostanza determina univocamente la classe di infinite primitive:

Una qualunque primitiva della funzione F(x) si dice potenziale del campo di forze F(x). Si noti che la funzione F(x) potrebbe non essere elementarmente integrabile; tuttavia la definizione precedente non perde di validità, almeno in linea di principio.
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Un approccio computazionale al problema della convergenza della serie di Fourier

giovedì, Aprile 28th, 2016

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La ricerca di condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza della serie di Fourier di una funzione periodica è un problema aperto dell'Analisi matematica. Infatti, sono note solo alcune condizioni sufficienti - denominate condizioni di Dirichlet - che compongono un criterio di convergenza puntuale della serie, noto in letteratura come Teorema di Dirichlet.

Le condizioni di Dirichlet richiedono la continuità a tratti della funzione f(x). Tuttavia nei punti in cui la funzione ha una discontinuità di prima specie, la serie di Fourier converge verso la media aritmetica dei limiti destro e sinistro in un punto di di discontinuità. Inoltre, tali punti di discontinuità danno luogo al cosiddetto fenomeno di Gibbs, che consiste in oscillazioni dello sviluppo in serie con conseguente non convergenza, come possiamo vedere dal grafico al top.
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