» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Il secondo principio della dinamica. Sistema di riferimento inerziale. Spazio e tempo assoluto

Ottobre 6th, 2018 | by Marcello Colozzo |

L'equazione vettoriale

stabilita nella lezione precedente, esprime il secondo principio della dinamica: l'accelerazione di un punto materiale di massa inerziale m, è proporzionale alla risultante F delle forze applicate:

Si noti che il secondo principio contiene come caso particolare il primo principio, poiché se la risultante delle forze applicate è nulla, secondo l'equazione precedente, tale sarà l'accelerazione:

onde il moto è rettilineo ed uniforme. In particolare, può verificarsi v=0: il punto materiale è in quiete.

Ci poniamo la seguente domanda: rispetto a quale sistema di riferimento dobbiamo considerare il moto? Nel tentativo di fornire una risposta, Newton postulò l'esistenza di uno spazio e di un tempo assoluto. Matematicamente ciò si traduce nell'esistenza di un sistema di riferimento K₀ in quiete assoluta, rispetto al quale è valida la F=ma. Operativamente, K₀F=ma vale non solo rispetto a K₀, ma anche relativamente a un qualunque sistema di riferimento K in moto traslatorio ed uniforme rispetto a K. Infatti, dalla cinematica relativa sappiamo che la velocità di un punto materiale rispetto a K₀ (velocità assoluta v_a) è legata alla velocità dello stesso punto rispetto a K (velocità relativa v_r ), dalla relazione vettoriale

essendo v_τ la velocità di trascinamento, i.e. la velocità dell'origine del riferimento K, rispetto a K₀. Se il moto di trascinamento è traslatorio ed uniforme, derivando rispetto al tempo:

che denota l'uguaglianza tra accelerazione assoluta e accelerazione relativa. In altri termini, gli osservatori solidali a K₀ e a K rispettivamente, misurano la medesima accelerazione e, quindi, la stessa forza.

Esistono oo⁶ sistemi di riferimento che si muovono di moto traslatorio uniforme rispetto a K₀. Si noti che l'ordine di molteplicità infinita è pari a sei, poiché abbiamo oo³ punti tra cui fissare ad arbitrio l'origine di K, e una volta fissata l'origine, restano altri tre parametri indipendenti per definire le direzioni degli assi coordinati di K. Questi particolari sistemi di riferimento sono denominati
inerziali o galileiani. In essi, una qualunque forza assume un carattere reale. Di contro, utilizzando un sistema di riferimento non inerziale, accanto alle predette forze reali, si manifestano le cosiddette forze apparenti (o fittizie).

Rispetto a un sistema di riferimento inerziale K, l'equazione vettoriale F=ma può essere scritta componente per componente, ossia nella forma di tre equazioni scalari:

avendo denotato con F_x,F_y,F_z le componenti cartesiane del vettore F nel riferimento cartesiano K che realizza il predetto sistema inerziale. Se i,j,k è la terna di versori degli assi coordinati, si ha:

In generale, tali componenti sono funzioni noti della posizione r=(x,y,z) del punto materiale sul quale agisce la forza F (o la risultante delle forze), della sua velocità v=dr/dt e del tempo t, cosicché le equazioni scalari appena viste, compongono un sistema di tre equazioni differenziali del secondo ordine nelle funzioni incognite x(t),y(t),z(t). Denotando l'operazione di derivazione con gli usuali puntini soprasegnati, si ha:

Matematicamente, il problema fondamentale della dinamica del punto materiale, si riconduce all'integrazione del predetto sistema per un'assegnata legge della forza e per una data condizione iniziale (problema di Cauchy).

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Tags: newton, secondo principio della dinamica, Sistema di riferimento inerziale

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