Parametrizzazione dell'orbita. Prima forma dell'equazione delle orbite. Orbite circolari

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Parametrizzazione dell'orbita. Prima forma dell'equazione delle orbite. Orbite circolari

domenica, Aprile 11th, 2021

Ciò premesso, il problema in esame si riconduce al seguente problema di Cauchy:

che per una funzione V'_eff(r) lipschitiana, ammette l'unica soluzione:

Tale soluzione è manifestamente una rappresentazione parametrica dell'orbita. D'altra parte, dalla seconda equazione differenziale si trae

Cioè la derivata rispetto al tempo dell'angolo polare ha lo stesso segno della componente z del momento angolare, e come tale non si annulla mai:

Escludiamo il caso banale L_z=0, in cui il moto è puramente radiale. Il non annullarsi della derivata implica che la sostituzione t->φ è una sostituzione di parametro ammissibile della rappresentazione parametrica scritta precedentemente. Quindi

Ne segue che dobbiamo scrivere un'equazione differenziale per tale funzione. A tale scopo sfruttiamo la conservazione dell'energia meccanica:

Cioè

da cui tenendo conto dell'espressione della derivata dell'angolo polare, si ottiene:

nota come prima forma dell'equazione delle orbite. Abbiamo dunque il problema di Cauchy:

Si noti la presenza dell'energia meccanica che svolge il ruolo di parametro:

È preferibile lavorare sulla funzione inversa φ(r):

Procedendo per separazione di variabili:

Deve essere E-V_eff(r) > 0. Se vale l'uguaglianza l'integrale è un integrale generalizzato, per cui si presenta il problema della convergenza. Tuttavia qui valgono le medesime considerazioni svolte per i moti unidimensionali. Precisamente, se la funzione f(r)=E-V_eff(r) ha zeri semplici, cioè del tipo

allora l'integrale converge. Resta dunque definita la regione accessibile:

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Il significato fisico del potenziale centrifugo

domenica, Aprile 11th, 2021

campo centrale,potenziale centrifugo,forza centrifuga — **Fig. 1**

Per quanto precede, il moto di una particella di massa m in un campo centrale di energia potenziale V(r), equivale a un moto unidimensionale in un campo di energia potenziale

Tale equivalenza non va presa alla lettera, giacché dobbiamo tener conto del grado di libertà angolare rappresentato dalla grandezza φ(t). Per ora stabiliamo il significato sifico del secondo termine dell'equazione precedente, noto come potenziale centrifugo. Per quanto stabilità in un numero precedente, la componente radiale dell'accelerazione della particella è

in cui riconosciamo la componente centripeta (secondo termine a secondo membro, incluso il segno -). Segue

per cui appare naturale assegnare un carattere centrifugo a tale forza. Si tratta comunque di una denominazione ambigua, giacché stiamo studiando il moto rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In ogni caso, la particella si muove in un campo centrale «efficace», come scritto in fig. 1 (seconda formula).
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