Condizione di chiusura delle orbite. Commensurabilità con 2 pi greco

Archive for the ‘Meccanica celeste’ Category

Condizione di chiusura delle orbite. Commensurabilità con 2 pi greco

martedì, Aprile 13th, 2021

Riprendiamo la lezione precedente.
L'angolo polare tra P (pericentro) ed A (apocentro) è

In pericentro ed apocentro l'orbita è tangente rispettivamente alle circonferenze che costituiscono la frontiera della regione accessibile, ossia

giacché nei predetti punti, la velocità radiale è nulla. Inoltre, la periodicità del moto rispetto alla coordinata radiale implica che la particella giunta in A, si sposta nuovamente verso r_min ovvero verso un altro punto di Γ_min, conservando l'angolo Δφ, e così via all'infinito. Ne segue che l'orbita è chiusa se e solo se

cioè se e solo se dopo un centro numero di transiti per pericentro ed apocentro, l'angolo spazzato dal raggio vettore è un multiplo intero di 2π. Ciò equivale a dire che il predetto angolo è commensurabile con 2π.

(altro…)

Posted in Meccanica analitica, Meccanica celeste, meccanica razionale | No Comments »

Punti di svolta di un'orbita. Pericentro e Apocentro

domenica, Aprile 11th, 2021

Senza perdita di generalità supponiamo che la funzione f(r)=E-V_eff(r) abbia due zeri semplici r_min < r_max. Ciò si verifica ad esempio, nel caso del potenziale efficace di fig.

cioè l'orbita è contenuta nella corona circolare di centro l'origine e raggi r_min, r_max.

Da una nota proprietà dei moti unidimensionali, segue la periodicità del moto nella coordinata radiale. Il periodo è

Tuttavia a differenza dei moti unidimensionali, gli zeri di f(r) non sono punti di arresto con inversione del moto. Per mostrare ciò, calcoliamo la velocità della particella in tali punti. Abbiamo

La componente radiale è nulla

La componente trasversale

È necessariamente r_max > 0, per cui

Riguardo a r_min, può aversi r_min=0. Dimostreremo in seguito che l'uguaglianza si verifica solo se il potenziale centrale per r-> diverge negativamente ed è ivi un infinito di ordine > 2. In tutti gli altri casi, è r_min non nullo.
(altro…)