Equivalenza di un moto in un campo centrale con un moto unidimensionale. Il potenziale centrifugo

Aprile 9th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1


Definizione
Un campo centrale è dato da


dove r=xi+yj+zk è il vettore posizione riferito a una terna inerziale Oxyz, mentre F(r) è una funzione reale sufficientemente regolare (continua e dotata di derivata continua).

Da questa definizione segue che un campo centrale esibisce una simmetria sferica, giacché non esistono direzioni privilegiate nello spazio fisico (il modulo della forza non dipende dalla direzione). Dalle lezioni di Fisica 1 sappiamo che un campo centrale è conservativo. L'energia potenziale è


Il momento della forza centrale rispetto all'origine delle coordinate (centro della forza) è manifestamente nullo, per cui si conserva il momento della quantità di moto (o momento angolare) di un punto materiale (o particella) di massa m che si muove nel campo centrale assegnato:


Se r0=r(t0),v0=v(t0) sono posizione e velocità iniziale del predetto punto, si ha che il valore della costante è il momento della quantità di moto iniziale:

ed è disposto come in fig. 1. Ne segue che il moto avviene nel piano α0 determinato dai vettori posizione e velocità iniziale, quindi è il piano passante per O e perpendicolare ad L0. Nel caso particolare in cui la velocità iniziale è parallela (o antiparallela) al vettore posizione iniziale, il momento della quantità di moto è nullo a tutti i tempi, per cui il moto è rettilineo.

Orientando la terna di assi Oxyz con il piano coordinato xy coincidente con il piano del moto, si ha:


cosicché

È preferibile istutuire nel piano coordinato xy un riferimento polare con polo nell'origine del riferimento cartesiano e con asse polare coincidente con l'asse x . In breve:


Quindi

avendo introdotto il momento d'inerzia della particella rispetto al polo O. Rammentando l'espressione analitica della velocità areolare, si ha:

Ne segue che un qualunque moto centrale conserva la velocità areolare. Tale risultato è noto come Legge di Keplero,anche e quest'ultima si riferisce a un particolare campo centrale (campo gravitazionale), mentre la predetta conclusione ha validità generale.
A questo punto non dobbiamo fare altro che integrare l'equazione differenziale del moto (secondo principio della dinamica):

Per quanto precede, la traiettoria è contenuta nel piano xy, dove abbiamo istituito un riferimento polare. Una base ortornormale in tale riferimento è {er,eφ} dove

sono rispettivamente versore radiale e versore trasversale. Quindi nella nuova base ortonormale, il vettore posizione del punto materiale si scrive:


La velocità della particella è

essendo

la velocità radiale e la velocità trasversale, rispettivamente. Derivando nuovamente otteniamo l'accelerazione vettoriale. Abbiamo già fatto tale calcolo in una precedente lezione


Qui abbiamo l'accelerazione radiale e l'accelerazione trasversale:

Ora possiamo scrivere l'equazione vettoriale del moto (in forma differenziale) nella predetta base ortonormale del riferimento polare:


Cioè

dove abbiamo tenuto conto di

qui l'apice denota la derivazione rispetto a r. La seconda può essere scritta

cosicché esprime la conservazione del momento della quantità di moto. Quindi l'equazione interessante è la prima:


Definiamo

per cui a meno di una inessenziale costante additiva (di integrazione)

Segue

avendo definito l'energia potenziale efficace

L'energia potenziale Vcf(r) è detta energia potenziale centrifuga o semplicemente potenziale centrifugo. Dunque il moto della particella nel campo centrale V(r) equivale a un moto unidimensionale nel potenziale efficace. Tale equivalenza è corroborata dall'espressione dell'energia meccanica (cinetica+potenziale)

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