[¯|¯] Riparametrizzazione. Sostituzione di parametro ammissibile. Curva regolare

Marzo 29th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Sia data una rappresentazione parametrica di base X:

Eseguiamo il cambio di variabile t->τ, mediante la funzione t=g(τ) definita in un intervallo Y di R.
Definizione
La funzione g(τ) definisce una riparametrizzazione della rappresentazione parametrica assegnata.
Quindi scriviamo
alt=

dove

Definizione
Una riparametrizzazione t=(τ) è una sostituzione di parametro ammissibile se:

dove l'apice denota l'operazione di derivazione nella notazione di Lagrange:

Lemma
Una sostituzione di parametro ammissibile è invertibile.

Dimostrazione

Se g(τ) è una qualunque sostituzione di parametro ammissibile definita nell'intervallo Y, si ha:

Inoltre, la funzione g(τ) è continua in Y (per definizione). Quindi per un noto teorema di Analisi segue l'asserto.
c.d.d.

Teorema
La funzione inversa di una qualunque sostituzione di parametro ammissibile è una sostituzione di parametro ammissibile.

Dimostrazione
Comunque prendiamo una sostituzione di parametro ammissibile g(τ) definita in Y, per il lemma precedente g(τ) è dotata di funzione inversa g^-1(t). Per il teorema di derivazione delle funzioni inverse si ha che g^-1(t) è derivabile (quindi continua), risultando:

da ciò segue la continuità di g'^-1(t) e
alt=

onde l'asserto.
c.d.d.
Di seguito la definizione di equivalenza di rappresentazioni parametriche.
Definizione
La rappresentazione parametrica x(t) di base X è equivalente alla rappresentazione parametrica x_*(τ) di base Y se esiste una sostituzione di parametro ammissibile t=g(τ) tale che:

alt=

Da tale definizione segue che

Cioè due rappresentazioni equivalenti descrivono la stessa curva Γ. Allora, per un'assegnata curva Γ denotiamo con Λ(Γ) l'insieme delle rappresentazioni parametriche di tale luogo geometrico:
alt=

Teorema

alt=

alt=
Dimostrazione
Omessa (ma sarà presente nel file pdf contenente queste lezioni).
Da tale teorema segue che ~ è una relazione di equivalenza in Λ(Γ). Restano perciò definite le classi di equivalenza. Precisamente: