Perché la Luna non cade sulla Terra?

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Perché la Luna non cade sulla Terra?

sabato, Aprile 10th, 2021

Una affermazione che si presenta spesso in Meccanica Celeste è: La Luna è in caduta libera verso la Terra, oppure: La Terra è in caduta libera verso il Sole. Un profano potrebbe, invece, porsi l'ovvia domanda: perchè la Luna non cade «effettivamente» sulla Terra? D'altra parte, se osserviamo la caduta libera di una pigna da un albero, vediamo che in entrambi i casi il campo di forze è il medesimo. Per essere più precisi, la pigna P è attratta dal campo gravitazionale terrestre, per cui si muove con accelerazione g=9.8m/s². Nessuno ha mai visto una pigna entrare in orbita! Una spiegazione intuitivamente ovvia è: rispetto alla superficie terrestre, la Luna si trova a una distanza molto più grande se confrontata alla distanza che separa la pigna dalla predetta superficie. Siccome l'attrazione gravitazionale diminuisce con il quadrato della distanza, ci si aspetta una forza di attrazione della Terra esercitata sulla Luna, decisamente più bassa di quella applicata alla pigna. In parole povere, l'accelerazione della «caduta libera» della Luna sulla Terra, è molto più bassa di g=9.8m/s². Tuttavia, ciò non spiega l'apparente contraddizione tra il moto radiale della pigna e il moto orbitale della Luna. Ma procediamo con ordine.
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Una condizione a cui devono obbedire le orbite chiuse in un potenziale centrale

mercoledì, Aprile 7th, 2021

orbita chiusa,orbita aperto,pericentro,apocentro — **Fig. 1**

Facciamo una sintesi. Per un andamento del potenziale efficace

del tipo di quello in fig. 1, si ha che l'angolo polare tra pericentro e apocentro è

Ricordiamo che gli estremi di integrazione sono le radici dell'equazione:

e deve essere

Cioè la particella è confinata in una buca di potenziale. Notiamo che la funzione integranda diverge in corrispondenza degli estremi di integrazione. Tuttavia l'integrale converge, in base a considerazioni già svolte nel caso dei moti unidimensionali (in sostanza, i predetti estremi sono punti di arresto con inversione del moto). È chiaro che r_min,r_max dipendono dall'energia meccanica E, per cui riscriviamo: