Ettore Majorana e i cerchi di Villarceau

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Ettore Majorana e i cerchi di Villarceau

giovedì, Novembre 25th, 2021

Di seguito un aneddoto riportato dal fisico Emilio Segrè (Autobiografia di un fisicow)

Mentre stavo per entrare in un esame, Majorana mi espose una dimostrazione sintetica dell'esistenza dei cerchi di Villarceau sul toro. A dire il vero non la capii pienamente, ma la imparai lì per lì a memoria. Chiamato all'esame, il professor Pittarelli mi domandò, come spesso faceva, se per caso avevo preparato un argomento speciale. "Sissignore", risposi, "i cerchi di Villarceau" e gli recitari prima di scordarmelo quanto avevo imparato pochi minuti prima. Il professore rimase impressionato e si congratulò per una dimostrazione così elegante e per lui nuova.

La dimostrazione proposta da Majorana risulta introvabile, per cui noi di Matematica open source abbiamo cercato riferimenti in rete per poi rienterpretarla.

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Impostazione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali delle geodetiche. Le geodetiche del Toro

mercoledì, Novembre 24th, 2021

geodetiche del toro, problema di cauchy,superificie di rotazione — **Fig. 1**

Prima di "tuffarci" nell'integrazione numerica (via software) delle equazioni differenziali delle geodetiche su una superficie di rotazione, esamianiamo in dettaglio l'impostazione analitica per poi darne una interpretazione geometrica. A tale scopo, riscriviamo il sistema di equazioni differenziali nella forma normale, i.e. risolta rispetto alla derivata di ordine massimo:

dove

definite in A=[a,b]×R². Si ricordi che la regolarità della curva generatrice implica:

La conseguente regolarità delle funzioni f e g soddisfa sovrabbondantemente le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità (o teorema di Cauchy-Lipschitz) della soluzione del problema di Cauchy definito dalle seguenti condizioni iniziali:

avendo assegnato ad arbitrio i numeri reali:

Ne consegue l'esistenza di una ed una sola curva integrale del sistema scritto sopra, la cui rappresentazione naturale è:

ove l'ascissa curvilinea s1 è determinata dall'ampiezza dell'intorno in cui è verificato il teorema di esistenza ed unicità. Tale curva passa per il punto Q₀(u₀,v₀) e ha ivi versore tangente: