Geodetiche di una superficie di rotazione

Novembre 23rd, 2021 | by Marcello Colozzo |

geodetiche, simboli di christoffel — **Fig. 1**

Definizione

Assegnata una superficie regolare S si dice geodetica di S, una curva regolare tracciata su S, tale che in ogni suo punto la normale principale coincide con la normale alla superficie.

Assegnata una parametrizzazione di S:

Ci si pone il problema della ricerca della rappresentazione naturale della più generale geodetica:

essendo s l'ascissa curvilinea. Tali funzioni risolvono il sistema di equazioni differenziali (scritto nella notazione u¹=u, u²=v):

dove i termini Γ sono i simboli di Christoffel e sono dati da (cit. Marmi-Fasano)

dove agisce la convenzione di somma sugli indici ripetuti due volte. A secondo membro troviamo l'elemento di matrice dell'inversa della matrice metrica, per cui:

Ciò premesso, vediamo come si particolarizza il sistema di equazioni differenziali delle geodetiche nel caso di una superficie di rotazione. Nella predetta notazione, la matrice metrica e la sua inversa si scrivono

Calcoliamo i simboli di Christoffel:

Dal momento che la matrice metrica è diagonale:

Segue

Quindi

Dall'equazione scritta più sopra:

Ma gli elementi della matrice metrica non dipendono dalla coordinata u² (per un'evidente ragione di simmetria), per cui

In maniera del tutto analoga si calcolano i rimanenti coefficienti:

Ora siamo in grado di scrivere le equazioni differenziali delle geodetiche per la più generale superficie di rotazione. Per k=1

Sommando sugli indici ripetuti due volte e riapplicando il procedimento per k=2, si perviene al sistema di equazioni differenziali del second'ordine

avendo ripristinato la notazione (u,v) per le coordinate curvilinee. Osserviamo che

dunque la seconda equazione differenziale diviene:

Se la costante c è diversa da zero:

Tenendo conto dell'espressione del ds^2 trovata nella lezione precedente

Separando le variabili:

che definisce la rappresentazione v=v(u) della geodetica. Se c=0

cioè i meridiani sono geodetiche. Diversamente, dalle equazioni differenziali delle geodetiche, segue che i paralleli (u(s)=costante) sono geodetiche se e solo se