Il problema di Keplero (parte prima)

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Il problema di Keplero (parte prima)

martedì, Marzo 30th, 2021

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Nel problema di Keplero abbiamo un campo centrale di energia potenziale:

Quindi l'energia potenziale efficace è

La soluzione dell'equazione delle orbite (scritta nella cosiddetta "prima forma") si esprime come:

La regione classicamente accessibile è

Per esplicitare tale regione, studiamo innanzitutto la funzione V_eff(r). Determiniamo gli eventuali zeri:

Per questo teorema le orbite circolari risolvono

a cui corrisponde un punto di minimo relativo per la funzione V_eff(r)

L'andamento del potenziale efficace è graficato in fig.

A questo punto, appare chiaro che affinché la particella compia un moto limitato (i.e. si trova in uno stato legato), l'energia meccanica deve essere negativa. Più precisamente:

dove gli estremi dell'intervallo sono le radici dell'equazione E=V_eff(r), come vediamo dalla fig.

L'equazione da risolvere è molto semplice (di secondo grado):

Cioè

Rammentando l'espressione di E_c (energia meccanica nel moto circolare)

Ne segue che l'orbita è contenuta nella corona circolare di centro l'origine e raggi r_min e r_max. Per conoscere l'andamento dobbiamo calcolare l'integrale che compare nell'espressione di φ(r). È un bel lavoro! Quindi preferiamo passare alla seconda forma dell'equazione delle orbite:

Abbiamo innanzitutto:

Quindi siamo in presenza di una semplice equazione differenziale lineare del secondo ordine e a coefficienti costanti (non omogenea):

Applichiamo il procedimento standard per ricavare l'integrale generale, ossia ricerchiamo un integrale particolare, come ad esempio

per cui la costante p (da non confondere con la quantità di moto!) è

A questo integrale particolare dobbiamo sommare l'integrale generale dell'omogenea associata

essendo A,B costanti di integrazione. Quindi l'integrale generale della nostra equazione è

Per rendere più maneggevole questa espressione, scriamo le costanti di integrazione nella forma:

essendo φ₀ l'angolo polare (anomalia) iniziale, mentre ε > = 0 è un parametro libero. Ne segue dopo qualche passaggio trigonometrico (formule di addizione):

Finalmente otteanimo l'equazione della traiettoria in coordinate polari:

Per quanto precede, già sappiamo chi sono p e φ₀, per cui chiediamoci: cosa rappresenta ε Intanto vediamo che se ε=0 si ha

cioè abbiamo l'unica orbita circolare. Dunque ε ci dice di quanto si allontana l'orbita dall'andamento circolare. Incidentalmente, dalla geometria analitica sappiamo che la formula scritta più sopra è l'equazione (in coordinate polari) di una conica con un fuoco nell'origine. Precisamente:

Ci aspettiamo che ε dipenda dall'energia meccanica E. Infatti, scrivendo

e sostituendo la soluzione trovata, si ottiene:

Quindi

Indice delle lezioni

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Apocentro e pericentro di un'orbita

lunedì, Marzo 29th, 2021

Riprendiamo l'integrale generale dell'equazione differenziale nota come prima forma dell'equazione delle orbite:

assumendo ovviamente L_z non nullo, giacché nel caso contrario l'orbita degenera in un segmento di retta. In tal modo è definita (conoscendo l'energia potenziale V(r)) l'energia potenziale efficace e quindi, la regione classicamente accessibile:

Si osservi che l'anomalia φ varia monotonamente, giacché

cioè la sua derivata rispetto al tempo ha lo stesso segno della componente z del momento della quantità di moto della particella.
Senza perdita di generalità, supponiamo che l'energia potenziale efficace sia del tipo di fig. 1. Ne segue

cioè l'orbita è contenuta nella corona circolare di centro l'origine e raggi r_min,r_max.

r_min è il modulo del vettore posizione del punto più vicino al centro della forza. Chiamiamo tale punto pericentro. Allo stesso modo, chiamiamo apocentro il punto più lontano, i.e. di vettore posizione di modulo r_max. Le rispettive anomalie sono: