Prima forma dell'equazione delle orbite

Marzo 19th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Proposizione
Se L_z=0 il moto si svolge lungo la retta di equazione (in coordinate polari) φ=φ₀ essendo φ₀=φ(0) l'anomalia del punto materiale nell'istante iniziale. Se L_z è diverso da zero, la funzione φ(t) è invertibile.

Dim.

La prima parte del teorema è immediata.La prima parte del teorema è immediata.

Passiamo alla seconda parte:

cioè φ(t) è monotonamente crescente. Alla stessa maniera, nel caso opposto. Da ciò segue l'asserto.

Supponiamo di aver parametrizzato la traiettoria assumendo come parametro il tempo t:

Per la proposizione appena dimostrata, si ha che la sostituzione t->φ è una sostituzione di parametro ammissibile. Quindi possiamo riparametrizzare:

o più semplicemente:

Applicando la regola di derivazione per le funzioni composte:

L'energia meccanica è

da cui

Segue

nota come prima forma dell'equazione delle orbite. Si tratta di un'equazione differenziale del primo ordine in φ(r) giacché è preferibile riscriverla nella forma: