Prima forma dell'equazione delle orbite
Marzo 19th, 2021 | by Marcello Colozzo |
Riprendiamo dalla lezione precedente.
Proposizione
Se Lz=0 il moto si svolge lungo la retta di equazione (in coordinate polari) φ=φ0 essendo φ0=φ(0) l'anomalia del punto materiale nell'istante iniziale. Se Lz è diverso da zero, la funzione φ(t) è invertibile.
Dim.
La prima parte del teorema è immediata.La prima parte del teorema è immediata.
Passiamo alla seconda parte:
cioè φ(t) è monotonamente crescente. Alla stessa maniera, nel caso opposto. Da ciò segue l'asserto.
Supponiamo di aver parametrizzato la traiettoria assumendo come parametro il tempo t:

Per la proposizione appena dimostrata, si ha che la sostituzione t->φ è una sostituzione di parametro ammissibile. Quindi possiamo riparametrizzare:

o più semplicemente:

Applicando la regola di derivazione per le funzioni composte:

Ma

L'energia meccanica è

da cui

Segue

nota come prima forma dell'equazione delle orbite. Si tratta di un'equazione differenziale del primo ordine in φ(r) giacché è preferibile riscriverla nella forma:

e si integra per separazione di variabili


Invertendo la funzione φ(r) otteniamo l'equazione della traiettoria.