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La serie di Dirichlet nel campo reale

venerdì, Ottobre 29th, 2021

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Esercizio
Nel campo reale la serie di Dirichlet è definita da

essendo {c_n} una successione di elementi di R. Studiarne la convergenza applicando il criterio dell'integrale, nel caso particolare

Soluzione

Poniamo

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Criterio del confronto e criterio dell'integrale (esercizio svolto)

giovedì, Ottobre 28th, 2021

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Soluzione

Il termine generale è

Riesce

c

per cui u_n è un infinitesimo di ordine maggiore di 1 (precisamente è di ordine 3). Quindi la serie è convergente in virtù del corollario I del criterio di confronto. Alternativamente, possiamo applicare il criterio dell'integrale, definendo la funzione

Il problema che si apre consiste nel determinare ξ=1. Si ricordi che il criterio è applicabile a patto che f sia strettamente decrescente in X. Ora vediamo che f è il prodotto di 1/x² (che è strettamente decrescente in (0,+oo)) per la funzione

che è strettamente crescente in (1,2) e strettamente decrescente in (2,+oo) come illustrato nel grafico di fig.

Per stabilire la monotonia di f(x) occorre lo studio della derivata prima. Riportiamo le conclusioni tratte via software: f è strettamente crescente in [1,x_max] e strettamente decrescente in [x_max,+oo) dove x_max=1.37 (circa) è un punto di massimo relativo. Siccome ξ deve essere un intero naturale, si ha che dobbiamo porre ξ=2 (vedi fig. 1). Dobbiamo allora studiare il comportamento dell'integrale

Riesce:

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