[Criteri di convergenza assoluta] Criterio di confronto e suo corollario

Ottobre 13th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1


Si tratta di importantissimi teoremi che forniscono delle condizioni sufficienti per la convergenza assoluta di una serie numerica.

Criterio di confronto
Sia


un'assegnata serie a termini positivi. Se


e se la serie a termini positivi converge, allora la serie


converge assolutamente. Se


e se la serie a termini positivi diverge, allora la serie


non converge assolutamente.

Dim.

Segue immediatamente dal teorema dimostrato in questa lezione.

Corollario
Data la serie


se un è per n->+oo un infinitesimo di ordine α (rispetto all'infinitesimo di riferimento 1/n), si ha:

Dim.

Per ipotesi:


Cioè


Per un teorema dimostrato in questa lezione


e per il criterio di confronto, la serie assegnata è assolutamente convergente. Viceversa:

Per concludere, la serie scritta in fig. 1 è assolutamente convergente, giacché il termine n-esimo è per n->+oo un infinitesimo di ordine 3/2.

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