» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Convergenza totale di una serie di funzioni

martedì, Novembre 9th, 2021

---

Sia data la serie di funzioni Σ_nf_n(x) in X (sottoinsieme di R).
Definizione

1. ogni funzione f_n(x) è limitata in X;
2. Σ_nΛ_n converge, essendo Λ_n l'estremo superiore di |f_n(x)| in X. Cioè
   

diremo che la serie assegnata è totalmente convergente in X.

Ad esempio consideriamo in (-oo,+oo)

per cui

avendosi

Ne segue la totale convergenza della serie

Nel grafico di fig. 1 riportiamo l'andamento della somma (calcolata con Mathematica.

Dimostriamo ora un importante teorema secondo cui la convergenza totale è una condizione più forte della convergenza uniforme.
(altro…)

---

Posted in Analisi Matematica I, Analisi Matematica II | No Comments »

Teorema di integrazione per serie

lunedì, Novembre 8th, 2021

---

Nell'intervallo [a,b] sia data la serie di funzioni Σ_nf_n(x) che assumiamo convergente con somma f(x):

Inoltre, se le funzioni ff_n(x) sono continue in [a,b] ha senso per ciascuna di esse l'integrale definito:

Poniamo, dunque, la questione dell'esistenza dell'integrale definito della somma:

e in caso affermativo, se possiamo scrivere

o ciò che è lo stesso

e in tal caso si dice che la serie è integrabile termine a termine. In generale, la risposta a tali quesiti è negativa, come mostra l'esempio della serie scritta in fig. 1, mentre nella seguente figura riportiamo i grafici dei primi 40 termini:

Calcoliamo la somma parziale

Cioè

In fig. 1 riportiamo il grafico delle somme parziali per N=1,...,15.
(altro…)

---

Posted in Analisi Matematica I, Analisi Matematica II | No Comments »