Calcolo di integrali per mezzo di serie

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Calcolo di integrali per mezzo di serie

giovedì, Novembre 18th, 2021

Supponiamo di avere una funzione continua f(x) nell'intervallo [a,b] e di non saper calcolare l'integrale definito

Immaginiamo poi di conoscere uno sviluppo in serie di tale funzione:

dove le f_k(x) sono continue nel predetto intervallo e tali che il corrispondente integrale definito sia agevolmente calcolabile. Se sono verificate le ipotesi del teorema di integrazione per serie

Per un assegnato ordine di approssimazione:

Ad esempio, ci proponiamo di calcolare

Per poter eseguire un'integrazione per serie, ridefiniamo innanzitutto la funzione integranda, in modo da bypassare la discontinuità (eliminabile) nell'estremo inferiore di integrazione:

Quindi dobbiamo calcolare

Ne segue

Mostriamo ora che la serie è totalmente convergente in [0,1]. Per un arbitrario a in (0,1) si ha

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Serie dell'arcoseno

giovedì, Novembre 18th, 2021

arcoseno,serie di taylor,serie di mac-laurin — **Fig. 1**

È la serie di Mac-Laurin relativa alla funzione arcoseno f(x)=arcsin(x). Procediamo come nel caso dell'arcotangente, cioè determinando lo sviluppo di Mac-Laurin della derivata prima