Teorema di integrazione per serie

Novembre 8th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Nell'intervallo [a,b] sia data la serie di funzioni Σ_nf_n(x) che assumiamo convergente con somma f(x):

Inoltre, se le funzioni ff_n(x) sono continue in [a,b] ha senso per ciascuna di esse l'integrale definito:

Poniamo, dunque, la questione dell'esistenza dell'integrale definito della somma:

e in caso affermativo, se possiamo scrivere

o ciò che è lo stesso

e in tal caso si dice che la serie è integrabile termine a termine. In generale, la risposta a tali quesiti è negativa, come mostra l'esempio della serie scritta in fig. 1, mentre nella seguente figura riportiamo i grafici dei primi 40 termini:

Calcoliamo la somma parziale

Cioè

In fig. 1 riportiamo il grafico delle somme parziali per N=1,...,15.

Abbiamo

per cui nell'intervallo [0,1] la serie assegnata converge alla funzione identicamente nulla:

e dunque

Calcoliamo ora:

Ne segue la serie numerica

A secondo membro compare una serie geometrica, precisamente il resto del primo ordine. Intanto calcoliamo

Cioè

onde

per cui la serie assegnata non è integrabile termine a termine. Osserviamo, incidentalmente, che tale serie non è uniformemente convergente (lo si provi come esercizio). Abbiamo, dunque, il seguente teorema che fornisce una condizione sufficiente per l'integrabilità termine a termine:

Teorema di integrazione per serie
Se la serie Σ_nf_n(x) è uniformemente convergente in [a,b] con somma f(x), e se le funzioni f_n(x) sono continue in [a,b], allora:

Dim.

Dalla continuità delle funzioni f_n(x) e dalla uniforme convergenza della serie, per il teorema della continuità, segue la continuità della somma f(x), e quindi l'esistenza dell'integrale definito di f(x) esteso all'intervallo [a,b]. Dobbiamo ora provare

D'altra parte, per una nota proprietà dell'integrale definito:

essendo R_N(x) il resto di ordine N. Vediamo se è verificata la proprietà

Per quanto precede, si ha