» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Serie dell'arcoseno

Novembre 18th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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È la serie di Mac-Laurin relativa alla funzione arcoseno f(x)=arcsin(x). Procediamo come nel caso dell'arcotangente, cioè determinando lo sviluppo di Mac-Laurin della derivata prima

A tale scopo, scriviamo la serie binomiale

Calcoliamo a parte il coefficiente binomiale

Segue

Quindi

Ponendo x=-t²

Ripristinando la variabile x

Mostriamo che la serie è totalmente convergente. A tale scopo definiamo

e comunque prendiamo il parametro a in (0,1), tali funzioni sono continue in [-a,a] contenuto strettamente in X=(-1,1). Segue

Perciò

La convergenza della serie degli estremi superiori deriva da una immediata applicazione di uno dei criteri di convergenza assoluta studiati in precedenza. Dunque la serie di funzioni che stiamo studiando è totalmente convergente in (-1,1) e a più forte ragione è ivi uniformemente e assolutamente convergente. Ciò implica che possiamo eseguire un'integrazione termine a termine:

Cioè

Per quanto riguarda il dominio di convergenza, abbiamo visto che è (-1,1). Tuttavia studiando la sommabilità della funzione 1/sqrt(1-x²) in [-1,1] e applicando un'estensione del teorema di integrazione per serie, si conclude che la predetta serie è assolutamente convergente in [-1,1].

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