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Serie dell'arcotangente

Novembre 16th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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È la serie di Mac-Laurin relativa alla funzione arcotangente f(x)=arctan(x). Premettiamo alcune considerazioni di carattere generale. Nella ricerca dello sviluppo in serie di Taylor/Mac-Laurin di un'assegnata f(x) non sempre è immediato determinare la derivata k-esima espressa in termini del solo indice k, per cui è necessario determinare la predetta serie in modo indiretto. A tale scopo, osserviamo che la serie di Taylor è una serie di potenze del binomio (x-x₀)^k:

Vedremo più avanti che lo sviluppo di Taylor se esiste, è unico. Ne segue che si con qualche artificio, giungiamo allo sviluppo scritto sopra, è necessariamente

Ciò premesso, per determinare lo sviluppo di f(x)=arctan x, mostriamo

Poniamo

Eseguiamo un secondo cambio di variabile

Ripristinando la variabile x

come volevamo mostrare. Mostriamo che la serie è totalmente convergente. A tale scopo definiamo

e comunque prendiamo 0 < a < 1, tali funzioni sono continue in

Segue

Perciò

da cui la convergenza totale in virtù della definizione. Ciò implica che la serie è uniformemente e assolutamente convergente in [-a,a]. L'uniforme convergente ci consente di integrare la serie termine a termine:

Quindi

in virtù dell'arbitarietà di 0 < a < 1. In realtà, la convergenza si verifica anche in x=±1, tenendo conto di un'estensione del teorema di integrazione per serie. Tuttavia, nei predetti punti la convergenza non è assoluta. In fig. 1 i grafici della funzione f(x)=arctan x confrontato con quelli di alcune somme parziali delle rispettive serie.

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