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Calcolo di un integrale definito tramite uno sviluppo in serie

Esercizio
Calcolare per serie

Soluzione

Denotando con f(x) la funzione integranda, eseguiamo il cambio di variabile t=-x². Quindi rammentando la serie esponenziale

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Topologia elementare in R¹. Punto di accumulazione per un insieme. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass

Sia X un sottoinsieme non vuoto di R.

Definizione 1
Un punto x₀ di R è punto di accumulazione (o punto limite) per X, se in ogni intorno di x₀ cade almeno un punto di X distinto da x₀. In simboli:

È necessario sottolineare che tale proprietà deve essere verificata in ogni intorno di x₀. Inoltre, il punto x₀ può appartenere o non appartenere ad X. Cioè

Proposizione
Se in ogni intorno di x₀ cade almeno un punto di X distinto da x₀, necessariamente ne cadono infiniti.

Dim.

Procediamo per assurdo, asserendo che in un qualunque intorno di x₀ cade un numero finito di punti di X\{x₀}. Precisamente, se

è un intorno di x₀ assegnato ad arbitrio, diciamo che ivi cadono i punti

Poniamo

per cui

Segue

essendo

Abbiamo quindi trovato un intorno di x₀ in cui non cade alcun punto di X distinto da x₀. Ne segue che x₀ non è di accumulazione per X, ma ciò è contro l'ipotesi, da cui l'asserto.

Dalla proposizione appena dimostrata segue che un insieme dotato di almeno un punto di accumulazione, è necessariamente infinito. Per quanto precede, se x₀ è di accumulazione per X, non è detto che x₀ appartenga a X. Di contro se x₀ appartiene a X e non è di accumulazione per X, significa che esiste almeno un intorno di x₀ in cui non cade alcun elemento di X\{x₀}. In tal caso diremo che x₀ è punto isolato di x.

La definizione 1 riguarda la nozione di punto di accumulazione al finito. Rammentiamo la nozione di intorno di +oo e -oo:

Abbiamo visto che

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