Calcolo di integrali per mezzo di serie

Novembre 18th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Supponiamo di avere una funzione continua f(x) nell'intervallo [a,b] e di non saper calcolare l'integrale definito

Immaginiamo poi di conoscere uno sviluppo in serie di tale funzione:

dove le f_k(x) sono continue nel predetto intervallo e tali che il corrispondente integrale definito sia agevolmente calcolabile. Se sono verificate le ipotesi del teorema di integrazione per serie

Per un assegnato ordine di approssimazione:

Ad esempio, ci proponiamo di calcolare

Per poter eseguire un'integrazione per serie, ridefiniamo innanzitutto la funzione integranda, in modo da bypassare la discontinuità (eliminabile) nell'estremo inferiore di integrazione:

Quindi dobbiamo calcolare

Ne segue

Mostriamo ora che la serie è totalmente convergente in [0,1]. Per un arbitrario a in (0,1) si ha

Applicando uno dei criteri di convergenza assoluta studiati nei precedenti paragrafi:

per cui la serie assegnata è totalmente convergente in [0,a], per ogni a in (0,1), e quindi per ogni x in [0,1]. La totale convergenza implica l'uniforme convergenza, pertanto possiamo eseguire un'integrazione per serie:

A secondo membro abbiamo una serie a termini di segno alterno. Per questo teorema le somme parziali di ordine dispari restituiscono un'approssimazione per eccesso della somma della serie, mentre le somme di ordine pari ne danno un'approssimazione per difetto. Cioè

A secondo membro abbiamo una serie a termini di segno alterno. Per il teorema nona le somme parziali di ordine dispari restituiscono un'approssimazione per eccesso della somma della serie, mentre le somme di ordine pari ne danno un'approssimazione per difetto. Cioè