Teorema di integrazione per serie

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Teorema di integrazione per serie

lunedì, Novembre 8th, 2021

Nell'intervallo [a,b] sia data la serie di funzioni Σ_nf_n(x) che assumiamo convergente con somma f(x):

Inoltre, se le funzioni ff_n(x) sono continue in [a,b] ha senso per ciascuna di esse l'integrale definito:

Poniamo, dunque, la questione dell'esistenza dell'integrale definito della somma:

e in caso affermativo, se possiamo scrivere

o ciò che è lo stesso

e in tal caso si dice che la serie è integrabile termine a termine. In generale, la risposta a tali quesiti è negativa, come mostra l'esempio della serie scritta in fig. 1, mentre nella seguente figura riportiamo i grafici dei primi 40 termini:

Calcoliamo la somma parziale

Cioè

In fig. 1 riportiamo il grafico delle somme parziali per N=1,...,15.
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Teorema di derivazione per serie

domenica, Novembre 7th, 2021

Sia data la serie di funzioni

che supponiamo convergente nell'intervallo X con somma f(x), assumendo ivi derivabili le singole funzioni f_{n}(x). Ci poniamo le seguenti domande: 1) La somma f(x) è derivabile in X? 2) La serie delle derivate Σ_nf'_n(x) è convergente in X? E in caso affermativo, possiamo asserire che la sua somma è la derivata f'(x) della funzione f(x)? Cioè la domanda è

In generale, la risposta a tali quesiti è negativa, come mostra l'esempio di questa serie dove

da cui le somme parziali

Quindi nel caso in esame la relazione scritta più sopra non è verificata in x=0, in quanto la somma non è ivi derivabile. Dimostriamo, ora, il teorema enunciato in fig. 1.

Per un assegnato x₀ in X preso ad arbitrio, poniamo X₀=X\{x₀}, per cui proviamo l'uniforme convergenza dei rapporti incrementali delle singole funzioni: